【洛谷-3959】宝藏

感觉NOIP2107提高组的题只写第一道水题不太合适?然后再写一道……线下考试的时候脑子瓦特了，状压都写了就是没写出正解QwQ

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◇ 题目（copy from 洛谷）

题目描述

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图，藏宝图上标出了 n 个深埋在地下的宝藏屋，也给出了这 n 个宝藏屋之间可供开发的 m 条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是，每个宝藏屋距离地面都很远，也就是说，从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的，而开发宝藏屋之间的道路则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商，赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某个宝藏屋的通道，通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上，小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路，小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路所能到达的宝藏屋的宝藏。另外，小明不想开发无用道路，即两个已经被挖掘过的宝藏屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是：L*K
L代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的宝藏屋的数量（包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋）。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路，使得工程总代价最小，并输出这个最小值。

输入输出格式

输入格式：
第一行两个用空格分离的正整数 n,m，代表宝藏屋的个数和道路数。
接下来 m 行，每行三个用空格分离的正整数，分别是由一条道路连接的两个宝藏屋的编号（编号为 1−n），和这条道路的长度 v。

输出格式：
一个正整数，表示最小的总代价。

◇ 解析

看到n的数据规模就大概知道是状压了（因为2^12=4096并不大，状压比较合适，也算是一个小技巧吧）。

根据贪心的思想，只要所有宝藏都连通就可以了，所以只需要生成一棵树！但是这棵生成树非常的奇妙……不仅是有根树，而且根的位置还会影响权值，这就是为什么不能直接生成树。那么状压就开始有用了?：dp[S] 表示当前生成树的点集为S时的最小花费。

因为最后生成树的根会对答案产生直接影响，所以我们需要先枚举点i作为根。那么生成树的初始状态就只包含 i 这一个根节点，也就是(1<<i)，此时没有边，权值也就是0。然后根据样例我们容易发现一条边对于最后权值的贡献为它的起点的深度×边的长度（根节点深度为1），所以我们需要计算一下点的深度 dep[]。

话不多说，先把状态转移方程列出来，再解释也不迟?：

dp[S] = min{ dp[S|(1<<v)] + dep[u] * lnk[u][v] } (u属于S，v不属于S)

从原来的状态S拓展到(S+v)，即从属于S的一个点u扩展到v，则增加的是起点u的深度dep[u]乘上u到v的距离。

接下来就很简单了——先枚举一个树的根，并把它的深度定为1。现在树只有一个节点，从这个状态开始转移：先枚举当前状态中的一个点u，再枚举一个不属于当前状态的点v，扩展，最后扩展到包含所有点。

◇ 解析

/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline bool insid(int a,int b) {return ((1<<a)&b);}
const int N=12;
int n,m,INF;
int lnk[N+7][N+7],dp[(1<<N)+7],dep[N+7];
void DFS(int S){for(int u=0;u<n;u++)if(insid(u,S))for(int v=0;v<n;v++)if(!insid(v,S) && lnk[u][v]<INF){int s=S|(1<<v);if(dp[s]>dp[S]+lnk[u][v]*dep[u]){dp[s]=dp[S]+lnk[u][v]*dep[u];int las=dep[v];dep[v]=dep[u]+1;DFS(s);dep[v]=las;}}
}
int main(){//freopen("treasure.in","r",stdin);//freopen("treasure.out","w",stdout);memset(lnk,0x3f,sizeof lnk);INF=lnk[0][0];scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<m;i++){int u,v,l;scanf("%d%d%d",&u,&v,&l);u--;v--;lnk[u][v]=lnk[v][u]=min(lnk[u][v],l);}int ans=INF;for(int i=0;i<n;i++){memset(dep,0x3f,sizeof dep);memset(dp,0x3f,sizeof dp);dep[i]=1;dp[1<<i]=0;DFS(1<<i);ans=min(ans,dp[(1<<n)-1]);}printf("%d\n",ans);return 0;
}

The End

Thanks for reading!

- Lucky_Glass

（Tab：如果我有没讲清楚的地方可以直接在邮箱lucky_glass@foxmail.com email我，在周末我会尽量解答并完善博客~?）

转载于:https://www.cnblogs.com/LuckyGlass-blog/p/9650872.html

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