【Java数据结构与算法】第十四章 红黑树
第十四章 红黑树
文章目录
- 第十四章 红黑树
- 一、红黑树
- 1.介绍
- 2.插入结点
- 3.删除结点
- 4.与平衡二叉树的对比
一、红黑树
1.介绍
红黑树（Red Black Tree）是平衡二叉树的其中一种实现方式，解决了二叉排序树多次插入新结点导致的不平衡问题
除了二叉排序树的基本特性外，它还具有下列附加规则：
- 结点是红色或黑色
- 根结点是黑色
- 每个叶子结点都是黑色的空结点（NIL 结点）
- 每个红色结点的两个子结点都是黑色（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点）
- 从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点
- 平衡二叉树是严格平衡的二叉树，要求每个结点的左右子树高度差不超过 1。而红黑树则要宽松一些，只要求任何一条路径的长度不超过其他路径长度的 2 倍
当插入或删除结点的时候，红黑树的规则可能被打破。这时候就需要做出一些调整，从而继续维持我们的规则
向原红黑树插入值为 14 的新结点
由于父结点 15 是黑色结点，因此这种情况并不会破坏红黑树的规则，无需做任何调整
向原红黑树插入值为 21 的新结点
由于父结点 22 是红色结点，因此这种情况打破了红黑树的规则 4（每个红色结点的两个子结点都是黑色），必须进行调整，使之重新符合红黑树的规则
调整的方法有变色和旋转，和常规的平衡二叉树一样，旋转包含左旋转和右旋转
变色：
为了重新符合红黑树的规则，尝试把红色结点变为黑色，或者把黑色结点变为红色
下图所表示的是红黑树的一部分（子树），新插入的结点 Y 是红色结点，它的父结点 X 也是红色的，不符合规则 4，因此我们可以把结点 X 从红色变为黑色
但是，仅仅把一个结点变色，会导致相关路径凭空多出一个黑色结点，这样就打破了规则 5。因此，我们需要对其它结点做进一步的调整，后文会详细说明
2.插入结点
红黑树插入新结点的时候可以分为 5 种不同的局面，每一种局面有不同的调整方案
局面 1：新结点（A）位于树根，没有父结点
空心三角形代表结点下面的子树
这种局面，直接让新结点变色为黑色，规则 2 得到满足。同时，黑色的根结点使得每条路径上的黑色结点数目都增加了 1，所以并没有打破规则 5
局面 2：新结点（B）的父结点是黑色
这种局面，新插入的红色结点 B 并没有打破红黑树的规则，所以不需要做任何调整
局面 3：新结点（D）的父结点和叔叔结点都是红色
这种局面，两个红色结点 B 和 D 连续，违反了规则 4，因此我们先让结点 B 变为黑色
这样一来，结点 B 所在路径凭空多了一个黑色结点，打破了规则 5，因此我们让结点 A 变为红色：
这时候，结点 A 和 C 又成为了连续的红色结点，我们再让结点 C 变为黑色
经过上面的调整，这一局部重新符合了红黑树的规则
局面 4：新结点（D）的父结点是红色，叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的右子结点，父结点（B）是祖父结点的左子结点
我们以结点 B 为轴，做一次左旋转，使得新结点 D 成为父结点，原来的父结点 B 称为 D 的左子结点
这样一来，进入了局面 5
局面 5：新结点（D）的父结点是红色， 叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的左子结点，父结点（B）是祖父结点的左子结点
我们以结点 A 为轴，做一次右旋转，使得结点 B 成为祖父结点，结点 A 成为结点 B 的右子结点：
接下来，我们让结点 B 变为黑色，结点 A 变为红色
经过上面的调整，这一局部重新符合了红黑树的规则
如果局面 4 中的父结点（B）是右子结点，则成为了局面 5 的镜像，原本的右旋转改为左旋转
如果局面 5 中的父结点（B）是右子结点，则成为了局面 4 的镜像，原本的左旋转改为右旋转
我们不用刻意记住这些局面的处理方式，只需要有个大概了解即可
实例演示：
给定下面这棵红黑树，新插入的结点是 21
显然，新结点 21 和它的父结点 22 是连续的红色结点，违背了规则 4，我们应该如何调整呢？
让我们回顾一下刚才讲的 5 种局面，当前的情况符合局面 3：新结点的父结点和叔叔结点都是红色
于是我们经过三次变色，22 变为黑色，25 变为红色，27 变为黑色
经过上面的调整，以结点 25 为根的子树符合了红黑树规则，但结点 25 和结点 17 成为了连续的红色结点，违背了规则 4
于是，我们把结点 25 看作一个新结点，正好符合局面 5 的镜像：新结点的父结点是红色，叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的右子结点，父结点是祖父结点的右子结点
于是我们以根结点 14 为轴进行左旋转，使得结点 17 成为了新的根结点
接下来，让结点 17 变为黑色，结点 13 变为红色
如此一来，我们的红黑树变得重新符合规则
3.删除结点
第一步：如果待删除结点有两个非空的子结点，转化成待删除结点只有一个子结点（或者没有子结点）的情况
上面的例子是一棵红黑树的局部，标数字的三角形代表任意形态的子树，假设结点 8 是待删除结点
根据上文讲解的二叉查找树的删除流程，由于结点 8 有两个子结点，我们选择仅大于 8 的结点 10 复制到 8 的位置，结点颜色变成待删除结点的颜色
接下来我们需要删除红色的结点 10
红色结点 10 能成为仅大于 8 的结点，必定没有左子结点，所以问题转换成了待删除结点只有一个右子结点（或没有子结点）的情况，接下来我们进入第二步
第二步：根据待删除结点和其唯一子结点的颜色，分情况处理
情况 1，自身是红色，子结点是黑色
这种情况最简单，按照二叉排序树的删除操作，删除结点 1 即可
情况 2，自身是黑色，子结点是红色：
这种情况也很简单，首先按照二叉查找树的删除操作，删除结点 1
此时，这条路径凭空减少了一个黑色结点，那么我们需要再把结点 2 变成黑色
情况 3，自身是黑色，子结点也是黑色，或者子结点是空叶子结点
这种情况最复杂，涉及到很多变化。首先我们还是按照二叉排序树的删除操作，删除结点 1
显然，这条路径上减少了一个黑色结点，而且结点 2 再怎么变色也解决不了
这时候我们进入第三步，专门解决父子双黑的情况
第三步：遇到双黑结点，在子结点顶替父结点之后，分成 6 种情况处理
情况 1，结点 2 是红黑树的根结点：
此时所有路径都减少了一个黑色结点，并未打破规则，不需要调整
情况 2，结点 2 的父亲、兄弟、侄子结点都是黑色
此时，我们直接把结点 2 的兄弟结点 B 改为红色
这样一来，原本结点 2 所在的路径少了一个黑色结点，现在结点 B 所在的路径也少了一个黑色结点，两边“扯平”了
可是，结点 A 以下的每一条路径都减少了一个黑色结点，与结点 A 之外的其它路径又造成了新的不平衡呢？
没关系，我们让结点 A 扮演原先结点 2 的角色，进行递归操作，重新判断各种情况
情况 3，结点2的兄弟结点是红色
首先以结点 2 的父结点 A 为轴，进行左旋转
然后将结点 A 变成红色、结点 B 变成黑色
这样的意义是什么呢？结点 2 所在的路径仍然少一个黑色结点呀？
别急，这样的变化有可能转换成情况 4、5、6 中的任意一种，在情况 4、5、6 当中会进一步解决
情况 4，结点 2 的父结点是红色，兄弟和侄子结点是黑色
这种情况，我们直接让结点 2 的父结点 A 变成黑色，兄弟结点 B 变成红色
这样一来，结点 2 的路径补充了黑色结点，而结点 B 的路径并没有减少黑色结点，重新符合了红黑树的规则
情况 5，结点 2 的父结点随意，兄弟结点 B 是黑色右子结点，左侄子结点是红色，右侄子结点是黑色
这种情况下，首先以结点 2 的兄弟结点 B 为轴进行右旋转
接下来结点 B 变为红色，结点 C 变为黑色
这样的变化转换成了情况 6
情况 6，结点 2 的父结点随意，兄弟结点 B 是黑色右子结点，右侄子结点是红色
首先以结点 2 的父结点 A 为轴左旋转
接下来让结点 A 和结点 B 的颜色交换，并且结点 D 变为黑色
经过结点 2 的路径由（随意+黑）变成了（随意+黑+黑），补充了一个黑色结点
经过结点 D 的路径由（随意+黑+红）变成了（随意+黑），黑色结点并没有减少
所以，这时候重新符合了红黑树的规则
实例演示：
给定下面这棵红黑树，待删除的是结点 17
第一步，由于结点 17 有两个子结点，子树当中仅大于 17 的结点是 25，所以把结点 25 复制到 17 位置，保持黑色
接下来，我们需要删除原本的结点 25
这个情况正好对应于第二步的情况三，即待删除结点是黑色，子结点是空叶子结点
于是我们删除框框中结点 25，进入第三步
此时，框框中的结点虽然是空叶子结点，但仍然可以用于判断局面，当前局面符合情况 5 的镜像
于是我们通过左旋和变色，把子树转换成情况 6 的镜像
再经过右旋和变色，子树最终成为了下面的样子
这样一来，整棵二叉树又重新符合了红黑树的规则
4.与平衡二叉树的对比
平衡二叉树是严格平衡的二叉树，要求每个结点的左右子树高度差不超过 1。而红黑树则要宽松一些，只要求任何一条路径的长度不超过其他路径长度的 2 倍
正因为这个差别，二叉平衡树的查找效率更高，但平衡调整的成本也更高，在需要频繁查找时，选用二叉平衡树更合适，在需要频繁插入删除时，选用红黑树更合适
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