莱洛三角形和定宽曲线

弧三角形,又叫莱洛三角形, 是机械学家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的;先画正三角，然后分别以点三个顶点为圆心,边长长为半径画弧得到的三角。

　　通过勒贝格积分可以算出，勒洛三角是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，其面积为1/2[π-(3^1/2)]s^1/2，s为定宽宽度。

勒洛三角也是“除了圆形以外，还有什么形状的下水道盖不会掉入下水道？”这个问题的一个答案。

因为圆形的每一条直径是相等的，井盖做成圆形的话，无论从哪个角度盖子都不会掉到井里去。
而其它形状总会有一条内径是最长的，例如矩形，其对角线就长于边长，如果把井盖做成矩形，就极有可能从对角线的角度掉下去。
所以下水道的井盖总是做成圆形的。

这个问题最早是微软公司招聘员工时的测试题，答案是这样的：圆盖的任何直径都不会比放它的圆圈小,盖子不会掉下去。方盖的任何一个边都比放它的方圈的对角线短，但盖子立起时会掉下去。

此题是为了考察一个人的换角度思考问题的能力。

定宽：

　　定宽曲线的概念：具有（类似圆的）定宽性的曲线称为定宽曲线

　　定宽性，几何上的理解是：将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切。则可以做到：无论这个圆如何运动，它还是在这两条平行线内，并且始终与这两条平行线相切。

　　定宽性与稳定性类似

　　定宽曲线的举例:圆形、曲线ABC（见下）、月亮、圆球（太阳）

　　有耐心可以做一下：【曲线ABC】作一个等边三角形ABC，然后以顶点A为圆心，三角形边长为半径，做弧连接BC点，再以顶点B为圆心，三角形边长为半径，做弧连接AC点，再以顶点C为圆心，三角形边长为半径，做弧连接AB点，则曲线ABC也是一条定宽曲线。

定宽曲线的实际应用：

　　车轮为什么设计成圆形？

　　当然车轮不一定是圆的，但圆的车轮应用的最多。

　　人们将车轮做成圆形，是利用了圆的一个重要性质：将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切。则可以做到：无论这个圆如何运动，它还是在这两条平行线内，并且始终与这两条平行线相切。此即圆的定宽性质，具有类似圆的定宽性质的曲线称为定宽曲线。

　　用圆作车轮是人类文明发展过程中选择的结果，不仅由于圆的定宽性，还由于圆是最常见的图形之一，比如太阳，月亮等，也是所有定宽曲线中最简单的。圆形较为容易加工。而且定宽的稳定性较好，即使圆形不算正规，还会保持较好的定宽性。

　　另外，圆形还具有一条重要的性质，几何中心的稳定性，圆的中轴（过圆心的轴）在圆转动的时候是保持高度不变的，始终是地面往上半径的高度。

　　试想用上面给出的另一条定宽曲线，它的几何中心是不稳定的，随着图形的转动上下跳动，这样是不适合做车轮的。

　　基于上诉特点，圆形的车轮是应用最广泛的。

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