概述

在人脸相关应用中，获得的人脸图像常常形状各异，这时就需要对人脸形状进行归一化处理。人脸对齐就是将两个不同的形状进行归一化的过程，将一个形状尽可能地贴近另一个形状。

值得注意的是，在英语文献中，Face Alignment和Facial Landmark Detection常常混用，在我的系列博客里面，Facial Landmark Detection指的是人脸特征点检测，而Face Alignment指的是人脸对齐。人脸特征点检测是人脸对齐的必要步骤，现在有很多端到端(end to end)的方法不需要进行对齐，所以具体要不要对齐这一步需要结合实际分析。

人脸特征点检测的结果如下:

人脸对齐的效果如下，可以看到右边的脸已经和左边的脸形状大体一致：

言归正传，Procrustes analysis是一种用来分析形状分布的统计方法。Procrustes源于古希腊神话中的一个强盗， 他常切断受害者的肢体使其身形与床相匹配，类似地Procrustes分析方法是对两个形状进行归一化处理 。从数学上来讲，普氏分析就是利用最小二乘法寻找形状A到形状B的仿射变换 。

模型

仿射变换

在高中的几何课程中，一定学过平移，放缩和旋转变换。

将这三种变换写成矩阵形式：

这个式子中，s就是缩放比例， 就是旋转角度，最后的t代表平移的位移，其中R是一个正交矩阵。

Procrustes analysis

我们现在要解决如何旋转、平移和缩放第一个向量，使它们尽可能对齐第二个向量的点。一个想法是使用仿射变换将第一个图像变换覆盖第二个图像。如何判断这种对齐的效果呢？使用最小二乘法，使得变化后所有点与目标点距离和最小。

两个形状矩阵分别为p和q，矩阵的每一行代表一个特征点的x,y坐标，假设有68个特征点坐标，则。写成数学形式：

其中就是p矩阵的第i行。写成矩阵形式：

代表Frobenius范数，就是每一项的平方和。

求解

这个最小值问题是有解析解的。

先放上代码：#Procrustes analysisdef transformation_from_points(points1, points2):

points1 = points1.astype(numpy.float64)

points2 = points2.astype(numpy.float64)

c1 = numpy.mean(points1, axis=0)

c2 = numpy.mean(points2, axis=0)

points1 -= c1

points2 -= c2

s1 = numpy.std(points1)

s2 = numpy.std(points2)

points1 /= s1

points2 /= s2

U, S, Vt = numpy.linalg.svd(points1.T * points2)

R = (U * Vt).T    return numpy.vstack([numpy.hstack(((s2 / s1) * R,

c2.T - (s2 / s1) * R * c1.T)),

numpy.matrix([0., 0., 1.])])

根据

可以知道

是有解的。

需要将式子

进行一些变化，写成Wikipedia式子的形状。这里的变化就需要对原始点集p和q进行一些处理，使得最小化式子发生变化。

这里给出了对原始点集的变化步骤。结合代码来看：c1 = numpy.mean(points1, axis=0)

c2 = numpy.mean(points2, axis=0)

points1 -= c1

points2 -= c2

这一步处理消除了平移T的影响。s1 = numpy.std(points1)

s2 = numpy.std(points2)

points1 /= s1

points2 /= s2

这一步处理消除了缩放系数s的影响。

这两步处理以后，R就可以变成求解下面的式子：

这里的A，B不再是原始的数据点集，而是变成了处理以后点集。

根据维基百科，这个式子是可以求解的：

这样就解出了R：U, S, Vt = numpy.linalg.svd(points1.T * points2)

R = (U * Vt).T

源代码最后一步返回的是仿射变换矩阵