【概述】

二叉排序树的查找效率取决于二叉排序树的形态，而构造一棵形态均匀的二叉排序树与结点的插入次序有关，但结点的插入次序不是随人的意志决定的，这就要求我们找到一种动态平衡的方法，对于任意给定的关键码序列都能构造一科形态均匀、平衡的二叉排序树。

平衡二叉树（Balance Binary Tree）又称 AVL 树，其本质是一种高度平衡的二叉排序树，其或是一棵空的二叉排序树，或是满足以下性质的二叉排序树：

根结点的左子树和右子树深度最多相差 1
根结点的左子树和右子树也是平衡二叉树

根据平衡二叉树的定义，将某个结点的左子树的深度与右子树的深度之差称为平衡因子（Balance Factor），将在平衡二叉树构造过程中，以距离插入结点最近的、且平衡因子绝对值大于 1 的结点为根的子树称为最小不平衡子树（Minimal Unbalance SubTree）

【平衡二叉树的构造】

构造平衡二叉树的基本思想是：在构造二叉排序树的过程中，每插入一个结点时，首先检查是否因结点插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树，在保持二叉排序树的特性前提下，调整最小不平衡子树中各结点的位置，进行相应旋转，使其成为新的平衡子树。

设结点 A 为最小平衡树的根结点，对该子树进行平衡调整归纳起来有以下四种情况：

1.LL 型

当新插入的结点是插在结点 A 的左孩子的左子树上，即为 LL 型。

设结点 B 是结点 A 的左子树的根结点，Bl、Br 分别为结点 B 的左右子树，Ar 为结点 A 的右子树，且 Bl、Br、Ar 三棵子树的深度均为 h，将结点 x 插入到结点 B 的左子树 Bl 上，导致结点 A 的平衡因子由 1 变为 2，使得以结点 A 为根的子树失去了平衡，如下图：

将支撑点由 A 改为 B，相应的进行顺时针旋转，旋转后，结点 A 及其右子树 Ar 和结点 B 的右子树 Br 发生冲突，按旋转优先原则，结点 A 成为 B 的右孩子结点，结点 B 的右子树 Br 成为结点 A 的左子树，如下图：

2.RR 型

当新插入的结点是插在结点 A 的右孩子的右子树上，即为 RR 型。

设结点 B 是结点 A 的右子树的根结点，Bl、Br 分别为结点 B 的左右子树，Al 为结点 A 的左子树，且 Bl、Br、Ar 三棵子树的深度均为 h，将结点 x 插入到结点 B 的右子树 Br 上，导致结点 A 的平衡因子由 -1 变为 -2，使得以结点 A 为根的子树失去了平衡，如下图：

将支撑点由 A 改为 B，相应的进行逆时针旋转，旋转后，结点 A 及其左子树 Al 和结点 B 的左子树 Bl 发生冲突，按旋转优先原则，结点 A 成为 B 的左孩子结点，结点 B 的左子树 Bl 成为结点 A 的右子树，如下图：

3.LR 型

当新插入的结点是插在结点 A 的左孩子的右子树上，即为 LR 型。

设结点 B 是结点 A 的左子树的根结点，结点 C 是结点 B 的右子树的根节点，Ar 为结点 A 的右子树，Bl 为结点 B 的左子树，Cl、Cr 分别为结点 C 的左右子树，且 Bl、Ar 两棵子树的深度为 h，Cl、Cr 两棵子树的深度为 h-1，将结点 x 插入到结点 C 的左子树 Cl 上，导致结点 A 的平衡因子由 1 变为 2，使得以结点 A 为根的子树失去了平衡，如下图：

对于 LR 型，需旋转两次：

1）第一次旋转：根节点 A 不动，调整结点 A 的左子树，将支撑点由结点 B 调整到结点 C 处，相应的进行逆时针旋转，旋转后，结点 B 及其左子树与结点 C 的左子树 Cl 发生冲突，按旋转优先原则，结点 C 的左子树成为 B 的右子树，如下图：

2）第二次旋转：将支撑点由结点 A 调整到结点 C，相应的进行顺时针旋转，旋转后，结点 A 及其右子树 Ar 与结点 C 的右子树 Cr 发生冲突，按旋转优先原则，结点 C 的右子树成为结点 A 的左子树，如下图：

4.RL 型

当新插入的结点是插在结点 A 的右孩子的左子树上，即为 RL 型。

设结点 B 是结点 A 的右子树的根结点，结点 C 是结点 B 的左子树的根节点，Al 为结点 A 的左子树，Br 为结点 B 的右子树，Cl、Cr 分别为结点 C 的左右子树，且 Br、Al 两棵子树的深度为 h，Cl、Cr 两棵子树的深度为 h-1，将结点 x 插入到结点 C 的右子树 Cr 上，导致结点 A 的平衡因子由 -1 变为 -2，使得以结点 A 为根的子树失去了平衡，如下图：

对于 RL 型，需旋转两次：

1）第一次旋转：根节点 A 不动，调整结点 A 的右子树，将支撑点由结点 B 调整到结点 C 处，相应的进行顺时针旋转，旋转后，结点 B 及其右子树与结点 C 的右子树 Cr 发生冲突，按旋转优先原则，结点 C 的右子树成为 B 的左子树，如下图：

2）第二次旋转：将支撑点由结点 A 调整到结点 C，相应的进行逆时针旋转，旋转后，结点 A 及其左子树 Al 与结点 C 的左子树 Cl 发生冲突，按旋转优先原则，结点 C 的左子树成为结点 A 的右子树，如下图：

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