数集

考虑这三个数：1/2 、 6、 -14，分别属于下面列出的数集，下面给出了不同的数集。

自然数（Natural Numbers）：大于0的整数，也就是1、2、3、4...

非负整数（Whole Numbers 或者 non-negative number）：自然数加上0，也就是0、1、2、3、4....

整数（intergers）：是非负整数加上自然数的相反数（也就是负的自然数），也就是...-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4...

有理数：可以被表示为两个整数的比率的数，也就是表示为m/n，m 和 n 都是整数，n不等于0（任何数除以0都无定义，不过m可以是0，0就是个有理数，因为0可以表示成0/1，0/2或者0/3，也可以写成0/-537）。

无理数：小数点后面的位数是无穷的， $\sqrt{2}$ 和 π 都是无理数，π是指圆的周长和它的直径之比，你应该学过无理数e，也就是2.71...一直持续下去且不会重复。

实数：包含所有上面的数，把有理数和无理数加起来就是实数。每个实数要么是无理数要么是有理数。

现在我们来分一下类：

1/2：它不是自然数。也不是非负整数。也不是整数。是有理数（1和2都是整数，所以1/2是有理数）。如果某数是有理数，那么它不可能是无理数。不存在同时是有理数和无理数的数。它也是实数（几乎所有数都是实数）。

6：它是自然数。它是非负整数（因为任何自然数都是非负整数）。它也是整数。它也是有理数（因为任何自然数、非负整数以及整数，也都是有理数，可以把7写成7/1）。它不是无理数（因为它是有理数）。它肯定是实数。

（关于实数，目前看到的例子都是属于它的范畴，但以后你会看到有很多例子也不属于它的范畴）

-14：它不是自然数。也不是非负整数。是整数（因为是15的相反数）。它是有理数，可以表示成-15/1，所以是有理数。它不是无理数。它是实数。

9：它是自然数。它也是非负整数。也是整数。也是有理数（有理数表示为m/n，9可以表示为9/1，18/9）。不是无理数。是实数。

3.40 $\overline{28}$ 属于哪个数集

那么3.40 $\overline{28}$ （其中2和8循环出现）属于哪个数集？

首先，28上面那条线表示2 8无限循环下去。那么它属于哪个数集？目前我们讨论过最大的数集，那就是实数集，这个数肯定属于实数。

记住，有理数是能表示成有理式或分式的数，如果p是有理数，表示p能表示成两个整数的比：

p = m/n

问题是，能将3.40 $\overline{28}$ 表示成两整数的比值吗？另一种思考方法是，这个数能表示成分数吗？要解决这个问题，我们把它表示成分数，我们令x等于这个数，x = 3.40 $\overline{28}$ ，思考一下10000x等于多少，我要求10000x的唯一原因是，我想将小数点移动最右边：

10000x = 34028.282828...

我们思考一下100x，我想做的是得到两个数，它们是x的表达式，如果将它们相减，无限循环部分会消失，我们可以将他们当作传统的数字。思考一下100x等于多少：

100x = 340.282828...

有趣的事情发生，这两个数是x的倍数，如果将上面的数减去下面的数，将会发生什么？循环部分会消失，我们减一下：

10000x - 100x = 34028.282828... - 340.282828...

等于：

9900x = 33688

如果要求解x，两边都除以9900，得到：

x = 33688/9900

这有什么大用处呢？x是这个数x = 3.40 $\overline{28}$ ，x是我们一开始讨论的数，这个数无限循环下去，做一些代数操作，这个数的一个倍数减去这个数的另一个陪数，我们可以将x表示成分数。现在表示成两整数的比例，所以这个数是有理数。

我们用的这个方法不仅适用于这个数，对任何有重复数字的数，大家可用这个方法。一般来说，有无限循环的数都是有理数，无理数是永远不会有无限循环的数的，如π。然后这个数不是整数，也不是自然数，但这是有理数和实数。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。

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