快速傅里叶变换(FFT)的推导过程(DIT)

FFT是一种快速计算DFT的算法。按时间抽选的基-2FFT推导过程如下：

首先给出DFT的计算公式：

X(k)=DFT[x(n)]=∑n=0N−1x(n)WnkN X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N n k

X(k)=DFT[x(n)]=\sum^{N-1}_{n=0}x(n)W^{nk}_{N}

其中 WN=e−j2πN W N = e − j 2 π N W_{N}=e^{-j\frac{2\pi}{N}}

容易证明：

WnkN=W(n+rN)kN=W(k+rN)nN，r为整数 W N n k = W N ( n + r N ) k = W N ( k + r N ) n ， r 为整数

W_N^{nk}=W_N^{(n+rN)k}=W_N^{(k+rN)n}，r为整数

WnkN=WmnkmN，WnkN=Wnk/mN/m W N n k = W m N m n k ， W N n k = W N / m n k / m

W_N^{nk}=W_{mN}^{mnk}，W_N^{nk}=W_{N/m}^{nk/m}

因此，可以得出一些特殊值：

WN/2N=−1 W N N / 2 = − 1

W_N^{N/2}=-1

Wk+N2N=−WkN W N k + N 2 = − W N k

W_N^{k+\frac{N}{2}}=-W_N^k

W(N−k)nN=W(N−n)kN=W−nkN W N ( N − k ) n = W N ( N − n ) k = W N − n k

W_N^{(N-k)n}=W_N^{(N-n)k}=W_N^{-nk}

FFT的主要思想就是利用这些性质将DFT中的某些项合并。

设序列的长度为 N=2L N = 2 L N=2^L，将其分成奇偶两组：

{x(2r)=x1(r)x(2r+1)=x2(r)(1) (1) { x ( 2 r ) = x 1 ( r ) x ( 2 r + 1 ) = x 2 ( r )

\begin{equation} \left\{ \begin{array}\ x(2r)=x_1(r) \\ x(2r+1)=x_2(r) \end{array} \right.\tag{1} \end{equation}

其中

r=0,1,...,N2−1 r = 0 , 1 , . . . , N 2 − 1

r=0,1,...,\frac{N}{2}-1

则

X(k)=∑n=0(n为偶数)N−1x(n)WnkN+∑n=0(n为奇数)N−1x(n)WnkN X ( k ) = ∑ n = 0 ( n 为偶数 ) N − 1 x ( n ) W N n k + ∑ n = 0 ( n 为奇数 ) N − 1 x ( n ) W N n k

X(k)=\sum_{n=0(n为偶数)}^{N-1}x(n)W_N^{nk}+\sum_{n=0(n为奇数)}^{N-1}x(n)W_N^{nk}

X(k)=∑r=0N2−1x(2r)W2rkN+∑r=0N2−1x(2r+1)W(2r+1)kN X ( k ) = ∑ r = 0 N 2 − 1 x ( 2 r ) W N 2 r k + ∑ r = 0 N 2 − 1 x ( 2 r + 1 ) W N ( 2 r + 1 ) k

X(k)=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_N^{2rk}+\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_N^{(2r+1)k}

X(k)=∑r=0N2−1x1(r)WrkN/2+WkN∑r=0N2−1x2(r)WrkN/2 X ( k ) = ∑ r = 0 N 2 − 1 x 1 ( r ) W N / 2 r k + W N k ∑ r = 0 N 2 − 1 x 2 ( r ) W N / 2 r k

X(k)=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_1(r)W_{N/2}^{rk}+W_N^k\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_2(r)W_{N/2}^{rk}

令

X1(k)=∑r=0N2−1x1(r)WrkN/2 X 1 ( k ) = ∑ r = 0 N 2 − 1 x 1 ( r ) W N / 2 r k

X_1(k)=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_1(r)W_{N/2}^{rk}

X2(k)=∑r=0N2−1x2(r)WrkN/2 X 2 ( k ) = ∑ r = 0 N 2 − 1 x 2 ( r ) W N / 2 r k

X_2(k)=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_2(r)W_{N/2}^{rk}

则

X(k)=X1(k)+WkNX2(k)(2) (2) X ( k ) = X 1 ( k ) + W N k X 2 ( k )

X(k)=X_1(k)+W_N^{k}X_2(k)\tag{2}

X1(k),X2(k) X 1 ( k ) , X 2 ( k ) X_1(k),X_2(k)分别是 x1(r)和x2(r) x 1 ( r ) 和 x 2 ( r ) x_1(r)和x_2(r)的 N/2 N / 2 N/2点DFT。

这样我们就可以把一个 N N N点DFT分解为两个N/2" role="presentation">N/2N/2N/2点DFT，并通过 (2) ( 2 ) (2)式组合成 N N N点DFT。

但是式中的k,r=0,1,...,N2−1" role="presentation">k,r=0,1,...,N2−1k,r=0,1,...,N2−1k,r=0,1,...,\frac{N}{2}-1，也就是说，这只是 X(k) X ( k ) X(k)的前一半序列。

可以应用周期性求解 X(k) X ( k ) X(k)的后一半序列。

易证：

X1(N2+k)=X1(k)X2(N2+k)=X2(k)Wk+N2N=−WkN X 1 ( N 2 + k ) = X 1 ( k ) X 2 ( N 2 + k ) = X 2 ( k ) W N k + N 2 = − W N k

X_1(\frac{N}{2}+k)=X_1(k) \\ X_2(\frac{N}{2}+k)=X_2(k) \\ W_N^{k+\frac{N}{2}}=-W_{N}^{k}

因此：

X(k+N2)=X1(k)−WkNX2(k),k=0,1,...,N2−1(3) (3) X ( k + N 2 ) = X 1 ( k ) − W N k X 2 ( k ) , k = 0 , 1 , . . . , N 2 − 1

X(k+\frac{N}{2})=X_1(k)-W_N^k X_2(k),k=0,1,...,\frac{N}{2}-1 \tag{3}

通过 (2) ( 2 ) (2)式和 (3) ( 3 ) (3)式，就可以通过两个 N/2 N / 2 N/2点DFT序列组合出一个完整的 N N N点DFT序列。

附运算次数(序列的长度为N" role="presentation">NNN)：

直接DFT：
复数乘法 N2 N 2 N^2次
复数加法 N(N−1) N ( N − 1 ) N(N-1)次

利用FFT求解DFT：
复数乘法 N2log2N N 2 l o g 2 N \frac{N}{2}log_2{N}次
复数加法 Nlog2N N l o g 2 N N log_2{N}次

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