A micro Lie theory for state estimation in robotics

面向机器人方向的李群教程，不涉及李括号，确实到目前为止也没见过李括号的应用。

李群的概念
李群指的是光滑可微的群，可以认为综合了群和光滑流形的概念。光滑，可微的流形，指的是领域和欧式空间同构的线性空间，也就是李群的每个元素存在线性空间或者向量空间作为切空间。由于单位元在群中的特殊地位，所以李群单位元的切空间李代数是在李群非常重要的概念。
切空间和李代数
由于李群的光滑性，每个元素的切空间的结构相同，都可以通过线性变换变化至单位元的切空间，也就是李代数。在李群和李代数上，定义了以下几种运算：
通过指数和对数运算在李群和李代数之间相互转换。
- 每个元素的切空间变换到单位元的切空间。
- 李代数和维度为m的向量空间同构（m是李群的自由度）
群运算
李群的重要性体现在，李群可以对替他元素进行群运算。这种运算d定义在李群和其他集合上，需要存在单位元和满足结合律。具体的定义和示例如下图:
李群中的映射和运算;
- 指数运算和对数运算：李群和李代数之间的相互转换
- 左乘和右乘：大部分李群是非交换群，左乘和右乘定义了不同的运算。
- 伴随矩阵（adjoint matrix）：把元素的切空间转换到单位元的切空间。
李代数函数的导数
- 在函数将一个李代数映射到另一个李代数的基础上，使用李群的左扰动和右扰动模型对函数进行求导。由于函数中自变量增量和因变量相减存在两个定义在李代数上的运算，也可以一个用左扰动，另一个用右扰动来表示。不同的扰动方式因为涉及到不同元素的切空间，所以彼此之间可以通过伴随矩阵相互关联。
- 李代数的不确定性也通过流形加以定义， Σ X ≜ E [ τ τ ⊤ ] = E [ ( X ⊖ X ‾ ) ( X ⊖ X ‾ ) ⊤ ] ∈ R n × n \boldsymbol{\Sigma}_{\mathcal{X}} \triangleq \mathbb{E}\left[\boldsymbol{\tau} \boldsymbol{\tau}^{\top}\right]=\mathbb{E}\left[(\mathcal{X} \ominus \overline{\mathcal{X}})(\mathcal{X} \ominus \overline{\mathcal{X}})^{\top}\right] \in \mathbb{R}^{n \times n} ΣX≜E[ττ⊤]=E[(X⊖X)(X⊖X)⊤]∈Rn×n，可以通过选择左扰动和右扰动，定义协方差所在的坐标系。
流形上的导数规则
- 链式法则：不同扰动方式混用需要进行坐标转换。
- 一些公式的推导：列举了包括李代数倒数，李代数乘法，指数和对数运算以及扰动的求导结果，详细内容见原文。
附录
附录推导了SO(2)，SO(3)，SE(2)，SE(3)和群 ( R n , + ) \left(\mathbb{R}^{n},+\right) (Rn,+)的相关定义。
资料参考 https://aipiano.github.io/2019/01/11/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0%E9%80%9F%E6%9F%A5%E6%89%8B%E5%86%8C/ 四元数速查手册

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