数学建模：线性规划—奶制品的生产销售计划模型 (Python 求解)

奶制品的生产销售计划一 (粗加工)
- 1. 制订生产计划, 使每天获利最大
- 2. 35 元可买到 1 桶牛奶, 买吗? 若买, 每天最多买多少?
- 3. 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?
- 4. A1A_1A1的获利增加到 30 元/kg, 应否改变生产计划?
奶制品的生产销售计划二 (深加工)
- 1. 制订生产计划, 使每天净利润最大
- 2. 30 元可增加 1 桶牛奶, 3 元可增加 1 h 时间, 应否投资?
- 3. 现投资 150 元, 可赚回多少?
- 4. B1,B2B_1, B_2B1,B2 的获利经常有 10% 的波动, 对计划有无影响?
- 5. 每天销售 10 kg A1A_1A1 的合同必须满足, 对利润有什么影响?

奶制品的生产销售计划一 (粗加工)

1桶牛奶{12h⟶3kgA1⟶获利 24元/kg8h⟶4kgA2⟶获利 16元/kg1 \ \text{桶牛奶} \begin{cases} 12 \ \mathrm{h} \longrightarrow 3 \ \mathrm{kg} \ A_1 \longrightarrow \text { 获利 } 24 \text { 元} / \mathrm{kg}\\ 8 \ \mathrm{h} \longrightarrow 4 \ \mathrm{kg} \ A_2 \longrightarrow \text { 获利 } 16 \text { 元} / \mathrm{kg}\\ \end{cases} 1 桶牛奶{12 h⟶3 kg A1⟶ 获利 24 元/kg8 h⟶4 kg A2⟶ 获利 16 元/kg

每天 50 桶牛奶, 时间 480 h, 至多加工 100 kg A1A_1A1.

制订生产计划, 使每天获利最大;
35 元可买到 1 桶牛奶, 买吗? 若买, 每天最多买多少?
可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?
A1A_1A1 的获利增加到 30 元/kg, 应否改变生产计划?

1. 制订生产计划, 使每天获利最大

设 x1x_1x1 桶生产 A1A_1A1, x2x_2x2 桶生产 A2A_2A2, 建立线性规划模型
max⁡z=72x1+64x2s.t.{(11128)⋅(x1x2)⩽(50480)0⩽(x1x2)⩽(10003+∞)\begin{gathered} \max z=72 x_{1}+64 x_{2} \\ s.t. \begin{cases} \left( \begin{matrix} 1& 1\\ 12& 8\\ \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right) \leqslant \left( \begin{array}{c} 50\\ 480\\ \end{array} \right) \\ \mathbf{0} \leqslant \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right) \leqslant \left( \begin{array}{c} \frac{1000}{3}\\ + \infty \\ \end{array} \right) \end{cases} \end{gathered} maxz=72x1+64x2s.t.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧(11218)⋅(x1x2)⩽(50480)0⩽(x1x2)⩽(31000+∞)

用 scipy.optimize.linprog 函数求解

from scipy.optimize import linprog
c=[-72, -64]    #目标向量
A=[[1, 1],[12, 8]]; b=[[50],[480]]
bound=((0,100/3.0),(0,None))
res=linprog(c,A,b,None,None,bound,method='simplex')
print('最优值:',res.fun)
print('最优解:',res.x)

最优值: -3360.0
最优解: [20. 30.]

即最优解为 x1=20,x2=30x_{1}=20, x_{2}=30x1=20,x2=30, 最大收益为 3360 元

2. 35 元可买到 1 桶牛奶, 买吗? 若买, 每天最多买多少?

设买 x3x_3x3 桶, 模型变为

max⁡z=72x1+64x2−35x3s.t.{(11−11280)⋅(x1x2x3)⩽(50480)0⩽(x1x2x3)⩽(10003+∞+∞)\begin{gathered} \max z=72 x_{1}+64 x_{2}-35 x_3 \\ s.t. \begin{cases} \left( \begin{matrix} 1& 1& -1\\ 12& 8& 0\\ \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array} \right) \leqslant \left( \begin{array}{c} 50\\ 480\\ \end{array} \right) \\ \mathbf{0} \leqslant \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array} \right) \leqslant \left( \begin{array}{c} \frac{1000}{3}\\ + \infty \\ + \infty \\ \end{array} \right) \end{cases} \end{gathered} maxz=72x1+64x2−35x3s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧(11218−10)⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞⩽(50480)0⩽⎝⎛x1x2x3⎠⎞⩽⎝⎛31000+∞+∞⎠⎞

from scipy.optimize import linprog
c=[-72, -64, 35]    #目标向量
A =[[1, 1, -1],[12, 8, 0]]; b=[[50],[480]]
bound=((0,100/3.0),(0,None),(0,None))
res=linprog(c,A,b,None,None,bound,method='simplex')
print('最优值:',res.fun)
print('最优解:',res.x)

最优值: -3490.0
最优解: [ 0. 60. 10.]

所以应该买 10 桶, 最大收益 3490 元

3. 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?

计算间增加 1 单位的利润增长

from scipy.optimize import linprog
c=[-72, -64]    #目标向量
A =[[1, 1],[12, 8]]
b1=[[50],[480]]
bound=((0,100/3.0),(0,None))
res1=linprog(c,A,b1,None,None,bound,method='simplex')
b2=[[50],[480+1]]
bound=((0,100/3.0),(0,None))
res2=linprog(c,A,b2,None,None,bound,method='simplex')
print(res1.fun-res2.fun)

2.0

即时间增加 1 单位, 利润增长 2 元, 所以聘用临时工人付出的工资最多每小时 2 元.

4. A1A_1A1的获利增加到 30 元/kg, 应否改变生产计划?

将目标函数变为 max⁡z=90x1+64x2\max z=90 x_{1}+64 x_{2}maxz=90x1+64x2 再次求解

from scipy.optimize import linprog
c=[-90, -64]    #目标向量
A=[[1, 1],[12, 8]]; b=[[50],[480]]
bound=((0,100/3.0),(0,None))
res=linprog(c,A,b,None,None,bound,method='simplex')
print('最优值:',res.fun)
print('最优解:',res.x)

最优值: -3720.0
最优解: [20. 30.]

最优解仍为 x1=20x_{1}=20x1=20, x2=30x_{2}=30x2=30, 无需改变生产计划.

奶制品的生产销售计划二 (深加工)

1桶牛奶→{→12h3kgA1→{获利 24元/kg→1kg,2h,3元0.8kgB1→获利 44元 /kg→8h4kgA2→{获利 16元/kg→1kg,2h,3元0.75kgB2→获利 32元 /kg1 \ \text{桶牛奶} \rightarrow \begin{cases} \xrightarrow{12 \ \mathrm{h}} 3 \ \mathrm{kg} \ A_1 \rightarrow \begin{cases} \text { 获利 } 24 \text {元} / \mathrm{kg}\\ \xrightarrow{1 \ \mathrm{kg}, \ 2 \ \mathrm{h}, \ 3 \text{元}}0.8 \ \mathrm{kg} \ {B}_{1} \rightarrow \text { 获利 } 44 \text { 元 } / \mathrm{kg} \end{cases} \\ \xrightarrow{8 \ \mathrm{h}} 4 \ \mathrm{kg} \ A_2 \rightarrow \begin{cases} \text { 获利 } 16 \text {元} / \mathrm{kg}\\ \xrightarrow{1 \ \mathrm{kg}, \ 2 \ \mathrm{h}, \ 3 \text{元}}0.75 \ \mathrm{kg} \ {B}_{2} \rightarrow \text { 获利 } 32 \text { 元 } / \mathrm{kg} \end{cases} \end{cases} 1 桶牛奶→⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧12 h3 kg A1→{ 获利 24元/kg1 kg, 2 h, 3元0.8 kg B1→ 获利 44 元 /kg8 h4 kg A2→{ 获利 16元/kg1 kg, 2 h, 3元0.75 kg B2→ 获利 32 元 /kg

每天 50 桶牛奶, 时间 480 h, 至多加工 100 kg A1A_1A1.

制订生产计划, 使每天净利润最大;
30 元可增加 1 桶牛奶, 3 元可增加 1 h 时间, 应否投资?
现投资 150 元, 可赚回多少?
B1,B2B_1, B_2B1,B2 的获利经常有 10% 的波动, 对计划有无影响?
每天销售 10 kg A1A_1A1 的合同必须满足, 对利润有什么影响?

1. 制订生产计划, 使每天净利润最大

设出售 x1kg⁡A1,x2kg⁡A2x_{1} \operatorname{kg} A_{1}, x_{2} \operatorname{kg} A_{2}x1kgA1,x2kgA2, x3kg⁡B1,x4kg⁡B2x_{3} \operatorname{kg} B_{1}, x_{4} \operatorname{kg} B_{2}x3kgB1,x4kgB2,. x5kg⁡A1x_{5} \operatorname{kg} A_{1}x5kgA1 加工 B1B_{1}B1, x6kg⁡A2x_{6} \operatorname{kg} A_{2}x6kgA2 加工 B2B_{2}B2

有 x5=x30.8\displaystyle{x_5=\frac{x_3}{0.8}}x5=0.8x3, x6=x40.75\displaystyle{x_6=\frac{x_4}{0.75}}x6=0.75x4

建立线性规划模型
max⁡z=24x1+16x2+44x3+32x4−3x5−3x6s.t.{x1+x53+x2+x64≤504(x1+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6≤480x1+x5≤100xi≥0\begin{gathered} \max \quad z=24 x_{1}+16 x_{2}+44 x_{3}+32 x_{4}-3 x_{5}-3 x_{6} \\ s.t. \begin{cases} \displaystyle{\frac{x_{1}+x_{5}}{3}+\frac{x_{2}+x_{6}}{4} \leq 50} \\ 4\left(x_{1}+x_{5}\right)+2\left(x_{2}+x_{6}\right)+2 x_{5}+2 x_{6} \leq 480\\ x_{1}+x_{5} \leq 100 \\ x_i \geq 0 \end{cases} \end{gathered} maxz=24x1+16x2+44x3+32x4−3x5−3x6s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧3x1+x5+4x2+x6≤504(x1+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6≤480x1+x5≤100xi≥0

⟹\Longrightarrow⟹
max⁡z=24x1+16x2+1614x3+28x4s.t.{(1314512134215216310540)(x1x2x3x4)⩾(50480100)(x1x2x3x4)⩾0\begin{gathered} \max \quad z=24 x_{1}+16 x_{2}+\displaystyle{\frac{161}{4}} x_{3}+28 x_{4} \\ s.t.\begin{cases} \left( \begin{matrix} \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{5}{12}& \frac{1}{3}\\ 4& 2& \frac{15}{2}& \frac{16}{3}\\ 1& 0& \frac{5}{4}& 0\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{array} \right) \geqslant \left( \begin{array}{c} 50\\ 480\\ 100\\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{array} \right) \geqslant \mathbf{0} \end{cases} \end{gathered} maxz=24x1+16x2+4161x3+28x4s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎝⎛3141412012521545313160⎠⎞⎝⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎞⩾⎝⎛50480100⎠⎞⎝⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎞⩾0

用 scipy.optimize.linprog 函数求解

from scipy.optimize import linprog
c=[-24, -16, -161/4, -28]    #目标向量
A =[[1/3, 1/4, 5/12, 1/3],[4, 2, 15/2, 16/3],[1, 0, 5/4, 0]]
b=[[50],[480],[100]]
Lb=[0]*4; Ub=[None]*4
bound=tuple(zip(Lb, Ub))
res=linprog(c,A,b,None,None,bound,method='simplex')
print('最优值:',res.fun)
print('最优解:',res.x)

最优值: -3460.8
最优解: [  0.  168.   19.2   0. ]

每天销售 168 kg A2A_2A2 和 19.2 kg B1B_1B1, 利润 3460.8 元

2. 30 元可增加 1 桶牛奶, 3 元可增加 1 h 时间, 应否投资?

# 增加牛奶
from scipy.optimize import linprog
c=[-24, -16, -161/4, -28]    #目标向量
A =[[1/3, 1/4, 5/12, 1/3],[4, 2, 15/2, 16/3],[1, 0, 5/4, 0]]
b1=[[50],[480],[100]]
Lb=[0]*4; Ub=[None]*4
bound=tuple(zip(Lb, Ub))
res1=linprog(c,A,b1,None,None,bound,method='simplex')
b2=[[50+1],[480],[100]]
res2=linprog(c,A,b2,None,None,bound,method='simplex')
print(res1.fun-res2.fun)

37.91999999999962

即增加 1 桶牛奶使利润增长 37.92 元

# 增加时间
from scipy.optimize import linprog
c=[-24, -16, -161/4, -28]    #目标向量
A =[[1/3, 1/4, 5/12, 1/3],[4, 2, 15/2, 16/3],[1, 0, 5/4, 0]]
b1=[[50],[480],[100]]
Lb=[0]*4; Ub=[None]*4
bound=tuple(zip(Lb, Ub))
res1=linprog(c,A,b1,None,None,bound,method='simplex')
b2=[[50],[480+1],[100]]
res2=linprog(c,A,b2,None,None,bound,method='simplex')
print(res1.fun-res2.fun)

3.2600000000002183

即增加 1 h 时间使利润增长 3.26 元

3. 现投资 150 元, 可赚回多少?

相同投资增加牛奶的收益 (37.9230=1.264\frac{37.92}{30}=1.2643037.92=1.264) 大于增加时间的收益 (3.263=1.087\frac{3.26}{3}=1.08733.26=1.087), 所以投资 150 元增加 5 桶牛奶, 可赚回 189.6 元

4. B1,B2B_1, B_2B1,B2 的获利经常有 10% 的波动, 对计划有无影响?

目标函数变为 max⁡z=24x1+16x2+44(1±0.1)x3+32(1±0.1)x4−3x5−3x6\max \, z=24 x_{1}+16 x_{2}+44(1\pm 0.1) x_{3}+32(1\pm 0.1) x_{4}-3 x_{5}-3 x_{6}maxz=24x1+16x2+44(1±0.1)x3+32(1±0.1)x4−3x5−3x6, x5=x30.8\displaystyle{x_5=\frac{x_3}{0.8}}x5=0.8x3, x6=x40.75\displaystyle{x_6=\frac{x_4}{0.75}}x6=0.75x4, 分别求解

from scipy.optimize import linprog
c0=[-24, -16, -161/4, -28]    #目标向量
A =[[1/3, 1/4, 5/12, 1/3],[4, 2, 15/2, 16/3],[1, 0, 5/4, 0]]
b=[[50],[480],[100]]
Lb=[0]*4; Ub=[None]*4
bound=tuple(zip(Lb, Ub))
res0=linprog(c0,A,b,None,None,bound,method='simplex')
# B1 增加 10%
c11=[-24, -16, -893/20, -28]
res11=linprog(c11,A,b,None,None,bound,method='simplex')
# B1 减少 10%
c12=[-24, -16, -717/20, -28]
res12=linprog(c12,A,b,None,None,bound,method='simplex')
# B2 增加 10%
c21=[-24, -16, -161/4, -156/5]
res21=linprog(c21,A,b,None,None,bound,method='simplex')
# B2 减少 10%
c22=[-24, -16, -161/4, -124/5]
res22=linprog(c22,A,b,None,None,bound,method='simplex')
print('原始方案',res0.x)
print('B1增加10%',res11.x)
print('B1减少10%',res12.x)
print('B2增加10%',res21.x)
print('B2减少10%',res22.x)

原始方案 [  0.  168.   19.2   0. ]
B1增加10% [  0.  168.   19.2   0. ]
B1减少10% [  0. 160.   0.  30.]
B2增加10% [  0. 160.   0.  30.]
B2减少10% [  0.  168.   19.2   0. ]

B1B_1B1 获利下降 10%, B2B_2B2 获利上升 10%时对计划有影响, 所以浮动对计划有影响

5. 每天销售 10 kg A1A_1A1 的合同必须满足, 对利润有什么影响?

增加约束条件 x1≥10x_1 \geq 10x1≥10, 再次求解

from scipy.optimize import linprog
c=[-24, -16, -161/4, -28]    #目标向量
A =[[1/3, 1/4, 5/12, 1/3],[4, 2, 15/2, 16/3],[1, 0, 5/4, 0]]
b=[[50],[480],[100]]
Lb0=[0]*4; Ub=[None]*4
Lb=[10,0,0,0]
bound0=tuple(zip(Lb0, Ub))
bound=tuple(zip(Lb, Ub))
res0=linprog(c,A,b,None,None,bound0,method='simplex')
res=linprog(c,A,b,None,None,bound,method='simplex')
print('最优值:',res.fun)
print('利润减少:',res0.fun-res.fun)

最优值: -3444.0
利润减少: -16.800000000000182

所以利润减少16元