航迹推演（Odometry）

做机器人底层程序的时候，经常用到航迹推演（Odometry），无论是定位导航还是普通的方向控制。航迹推演中除了对机器人位姿进行估计，另一个很重要的关系是移动机器人前进速度 $/inline v$ 、转向角速度 $/inline w$ 与左轮速度 $/inline v_{l}$ 、右轮速度 $/inline v_{r}$ 之间的转换。

在机器人局部路径规划算法DWA解析一文中，是在假设已知机器人前进线速度 $/inline v$ 和角速度 $/inline w$ 的情况下，对机器人航迹推演的位姿进行推导了，然而缺少如何通过左右轮速度得到 $/inline v$ 、 $/inline w$ ，因此本文将补上这个空缺。

下图是移动机器人在两个相邻时刻的位姿，其中 $/inline /theta _{1}$ 是两相邻时刻移动机器人绕圆弧运动的角度， $/inline /theta _{3}$ 是两相邻时刻移动机器航向角（朝向角head）的变化量。 $/inline l$ 是左右轮之间的间距， $/inline d$ 是右轮比左轮多走的距离。 $/inline r$ 是移动机器人圆弧运动的半径。

移动机器人前进速度等于左右轮速度的平均，这个好理解。

$/dpi{120} v=/frac{v_{r}+v_{l}}{2}$ (1)

现在来推导机器人航向角如何计算，以及如何计算角速度 $/inline w$ 。如图所示，把两个时刻的机器人位置叠加在一起，可以清楚的看到移动机器人航向角变化量是 $/inline /theta _{3}$ 。从图中的几何关系可以得到：

$/inline /dpi{120} /theta_{3} = /theta_{2}=/theta_{1}$

也就是说移动机器人航向角变化了多少角度，它就绕其运动轨迹的圆心旋转了多少角度。这句话很好验证，我们让机器人做圆周运动，从起点出发绕圆心一圈回到起点处，在这过程中机器人累计的航向角为360度，同时它也确实绕轨迹圆心运动了360度，说明机器人航向角变化多少度，就绕圆心旋转了多少度。而这三个角度中， $/inline /theta _{2}$ 很容易计算出来，由于相邻时刻时间很短，角度变化量 $/inline /theta _{2}$ 很小，有下面的近似公式：

$/inline /dpi{150} /theta_{2}/approx sin/left ( /theta /right )=/frac{d}{l}=/frac{(v_{r}- v_{l})/cdot /Delta t}{l}$

所以可以得到机器人绕圆心运动的角速度 $/inline w$ ，它也是机器人航向角变化的速度：

$/dpi{120} w= /frac{/theta_{1}}{/Delta t}=/frac{v_{r}- v_{l}}{l}$ (2)

线速度、角速度都有了，因此可以推出移动机器人圆弧运动的半径：

$/dpi{120} /large r = /frac{v}{w}=/frac{l/cdot (v_{r}+v_{l})}{2/left ( v_{r}-v_{l} /right )}$ (3)

从公式（3）可以发现当左轮速度等于右轮速度时，半径无穷大，即直线运动。最后将三个公式综合起来，可以得到左右轮速度和线速度角速度之间的关系如下，：

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