1. 主要思想

期货价格的波动率和期权的隐含波动率依赖于基本面因素，尤其是现货的价格。（期权的隐含波动率暂时不关心）
VT(t)=e−k(T−t)σ(t)V_T(t) = e^{-k(T-t)} \sigma(t) VT(t)=e−k(T−t)σ(t)
其中，VT(t)V_T(t)VT(t)是期货价格的波动率，σ(t)\sigma(t)σ(t)是现货价格的波动率，kkk是即期对数现货价格向长期平均水平收敛的速度，T是期货剩余到期时间。e−k(T−t)e^{-k(T-t)}e−k(T−t)项（damping term）会使得波动率随着T的增加而降低。
VT1>VT2,forT1<T2V_{T_1} >V_{T_2} , \quad for \quad T_1 < T_2VT1>VT2,forT1<T2

e−k(T−t)e^{-k(T-t)}e−k(T−t)项很好的诠释了"萨缪尔森假设"(Samuelson 1965)或者"到期效应"，Samuelson提出期货合约随着到期日的邻近其价格波动的幅度将逐渐增大。

2. 模型推导

为了验证这个思想，作者使用了一个随机微分方程（Hull-White模型）来表示对数现货价格的变化过程，如下所示：
dp=k(α(t)−p)dt+σ(t)dz，p=lnP(1)dp = k(\alpha(t)-p)dt + \sigma(t) dz， p =ln P \tag{1} dp=k(α(t)−p)dt+σ(t)dz，p=lnP(1)
可以证明：
α(t)=μ(t)+μ′(t)/k,σ2(t)=2kv(t)+v′(k)\alpha(t) = \mu(t) +\mu'(t)/k, \quad \sigma^2(t) = 2kv(t) +v'(k) α(t)=μ(t)+μ′(t)/k,σ2(t)=2kv(t)+v′(k)
其中ppp是现货价格的对数形式，dpdpdp相当于就是现货价格的收益率。α\alphaα和σ\sigmaσ是时间的函数(seasonal functions of time)。这个过程呈现了收益率均值的均值回归特性和波动率的周期性变动。kkk是即期对数现货价格向长期平均水平收敛的速度，α(t)\alpha(t)α(t)是长期平均即期对数现货价格。（与Schwartz不同的是，这里的长期平均水平是周期性/季节性变动的，波动率依然是如此。）μ\muμ和vvv是周期性函数，能从α\alphaα和σ2\sigma^2σ2推导出。

由(1)式可知，对数差分dpdpdp是服从正太分布的，p(t+h)p(t+h)p(t+h)条件均值和方差如下所示：
Et[p(t+h)]=μ(t+h)+e−kh(p(t)−μ(t)),Vart[p(t+h)]=v(t+h)−e−2khv(t)(2)E_t[p(t+h)] = \mu(t+h) +e^{-kh}(p(t)-\mu(t)), \\ Var_t[p(t+h)] = v(t+h) -e^{-2kh}v(t) \tag{2} Et[p(t+h)]=μ(t+h)+e−kh(p(t)−μ(t)),Vart[p(t+h)]=v(t+h)−e−2khv(t)(2)

参考文献：Schwartz, E. S. (1997). The stochastic behavior of commodity prices: Implications for valuation and hedging. The Journal of finance, 52(3), 923-973.
（1）式的原型来自于Schwartz, E. S. (1997)的论文，Schwartz建立了一个单因素的描述了均值回复的模型（Hull-White），假定现货价格服从以下的随机过程：
dS=k(μ−lnS)Sdt+σSdzdS = k(\mu - ln S)Sdt +\sigma S dzdS=k(μ−lnS)Sdt+σSdz
令X=lnSX=ln SX=lnS，并运动伊藤引理，可以得到:
dX=k(α−X)dt+σdzα=μ−σ22kdX = k(\alpha-X)dt +\sigma dz \\ \alpha = \mu - \frac{\sigma^2}{2k} dX=k(α−X)dt+σdzα=μ−2kσ2
其中k代表了均值回归调整速度，k>0，代表了均值回复到长期对数价格均值的速度。α\alphaα刻画了该过程的波动率。
现货价格的对数的条件均值和方差如下所示：
E0[X(T)]=e−kTX(0)+(1−e−kT)αVar0[X(T)]=σ22k(1−2e−2kT)E_0[X(T)] = e^{-kT} X(0) +(1 -e^{-kT}) \alpha \\ Var_0[X(T)] = \frac{\sigma^2}{2k} (1- 2e^{-2kT}) E0[X(T)]=e−kTX(0)+(1−e−kT)αVar0[X(T)]=2kσ2(1−2e−2kT)

由现货价格的对数正态分布的性质可以得到：
Et[P(T)]=exp(Et(p(T))+12Vart(p(T)))(3)E_t[P(T)] = exp(E_t(p(T)) + \frac{1}{2} Var_t(p(T))) \tag{3} Et[P(T)]=exp(Et(p(T))+21Vart(p(T)))(3)
到期时刻为T的期货的价格为现货价格在T时刻的期望的价格，结合(2)式和(3)式，可以得到：
F(P,t;T)=exp(μ(T)+e−k(T−t)(ln(P)−μ(t))+12(v(T)−e−2k(T−t)v(t)))(4)F(P,t;T) = exp(\mu(T) + e^{-k(T-t)}(ln(P)-\mu(t)) + \frac{1}{2}(v(T)-e^{-2k(T-t)}v(t) )) \tag{4} F(P,t;T)=exp(μ(T)+e−k(T−t)(ln(P)−μ(t))+21(v(T)−e−2k(T−t)v(t)))(4)
由(4)式可以得到F关于P的偏导数FpF_pFp：
Fp=∂F∂P=FPe−k(T−t)(5)F_p = \frac{\partial F}{\partial P} = \frac{F}{P} e^{-k(T-t)} \tag{5} Fp=∂P∂F=PFe−k(T−t)(5)

简化起见，假定剩余到期时间为T的期货价格是现货价格的函数（单因素的模型），如果现货价格过程是满足风险中性的，或者说没有风险溢价，那么期货价格是无漂移项的价格过程，如下所示：
dF=FVT(t)dz(6)dF = FV_T(t) dz \tag{6} dF=FVT(t)dz(6)
根据伊藤引理，我们可以得到：
dF=σ(t)PFpdz(7)dF = \sigma(t) P F_p dz \tag{7} dF=σ(t)PFpdz(7)
其中F是期货的价格，P是现货的价格，VT(t)V_T(t)VT(t)是期货价格的波动率，FpF_pFp是F对于P的偏导数。
VT(t)=e−k(T−t)σ(t)(8)V_T(t) = e^{-k(T-t)} \sigma(t) \tag{8} VT(t)=e−k(T−t)σ(t)(8)

详细推导：
假设X服从几何布朗运动，dX(t)=a(X(t),t)dt+b(X(t),t)dzdX(t) = a(X(t),t)dt +b(X(t),t)dzdX(t)=a(X(t),t)dt+b(X(t),t)dz，f是X的函数，令f((X(t),t))为X(t)的二阶连续可导函数(并对t一阶可导)，由伊藤引理可得：
df=∂f∂tdt+∂f∂XdX+12∂2f∂X2(dX)2df = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial X}dX +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial X^2}(dX)^2 df=∂t∂fdt+∂X∂fdX+21∂X2∂2f(dX)2
将dX(t)=a(X(t),t)dt+b(X(t),t)dzdX(t) = a(X(t),t)dt +b(X(t),t)dzdX(t)=a(X(t),t)dt+b(X(t),t)dz代入上式中，并且省去比dt更高的项(dt)2(dt)^2(dt)2,就可以得到伊藤引理的一般形式：
df=(∂f∂t+∂f∂Xa+12∂2f∂X2b2)dt+∂f∂Xbdzdf = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial X}a +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial X^2}b^2)dt+\frac{\partial f}{\partial X}bdz df=(∂t∂f+∂X∂fa+21∂X2∂2fb2)dt+∂X∂fbdz
可以看出f也是服从几何布朗运动的。
再回来本文，现货价格是服从几何布朗运动的，期货价格是现货价格的函数，那么可以得到上述的伊藤引理的一般公式，但由风险中性的条件可以推出期货价格过程是无漂移项的，也就是没有dt这一项，那么df=∂f∂Xbdz,b=σ(t)Sdf=\frac{\partial f}{\partial X}bdz, b=\sigma(t) Sdf=∂X∂fbdz,b=σ(t)S

3. 参数估计

式子（1）可以写成如下的形式：
pt=ct+Qtpt−1+ηt,t=1,....,NTp_t = c_t + Q_t p_{t-1} +\eta_t, \quad t=1,....,NT pt=ct+Qtpt−1+ηt,t=1,....,NT
其中：
ct=kα(t)Δt,Qt=1−kΔtc_t = k \alpha(t) \Delta t, \quad Q_t = 1- k \Delta t ct=kα(t)Δt,Qt=1−kΔt
ηt\eta_tηt,是无自相关的序列，并且服从正态分布，其期望和方差如下所示：
E(ηt)=0,Var(ηt)=σ2ΔtE(\eta_t)=0, \quad Var(\eta_t) = \sigma^2 \Delta t E(ηt)=0,Var(ηt)=σ2Δt
通过最小二乘方式来估计出参数QtQ_tQt就可以得到k的值。

4. 模拟实验

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