微积分总结（数列与无穷级数）

本章节讲的是数列的极限和判断他的敛散性。

第一步我们先了解一下数列的极限是什么

数列的极限

我们有数列ana_nan和它的前n项和SnS_nSn

如果部分和SnS_nSn有一个极限L，那么这个无穷级数收敛（converges）到这个极限。有如下式子：
∑k=1∞ak=lim⁡n→∞∑k=1nak=lim⁡n→∞Sn=L\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to\infty} \sum_{k = 1}^{n}a_k=\lim_{n\to\infty}S_n=L k=1∑∞ak=n→∞limk=1∑nak=n→∞limSn=L
如果这个极限不存在，那么这个级数就会发散（diverges）。

很明显，意思就是如果有数列ana_nan和SnS_nSn那么上面的几项就是等价的。

数列

数列的极限和函数的极限

假设有一个函数f(n)=af(n) = af(n)=a而且其中每一项都是正的，如果有lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty}f(x)=Llimx→∞f(x)=L,那么数列{ana_nan}的极限也是L。

几何级数

如果r和a都是实数，有

这样就是当r小于等于-1或者大于1时发散

反之当r大于-1且小于1时收敛

可能用图像表达会更直观一些

然后就是一个很重要的概念

数列的增长率

比如我们在比较一些极限都是零的数列时，我们就要从他们的增长率入手。

换成官方的话就是

如果在n→∞\to\infty→∞时有ana_nan和bnb_nbn都是趋向于无穷的，

那么我们如何去求lim⁡n→∞bnan\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}limn→∞anbn?

然后我们在很多的运算后得出以下常见数列的增长率的先后顺序

无穷级数

在上一次简单讲明几何数组的一个收敛和发散的判断方法，这里我们会有一个进阶版的，

几何级数（实际就是高中的等比数列）

如果a≠0a \neq 0a=0而且r是一个实数。有|r|<1,那么有∑k=0∞=a1−r\sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{a}{1-r}∑k=0∞=1−ra，而如果|r| ≤\le≤ 1,那么关于它的敛散性就会有如下的表示。

其中关于中间的推导有
∑k=0∞ark=lim⁡n→∞∑k=0n−1ark=lim⁡n→∞a1−rn1−r\sum_{k = 0}^{\infty}ar^k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n-1}ar^k=\lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^n}{1-r} k=0∑∞ark=n→∞limk=0∑n−1ark=n→∞lima1−r1−rn
因为r是小于1大于-1的，所以就会有rnr^nrn的值为0

如此，我们再正式进入我们的敛散性。

发散和积分判别法

这是我们的一个重头戏了

它的名字叫发散判别法

条件	结果
如果∑ak\sum a_k∑ak收敛	lim⁡k→∞ak=0\lim_{k\to\infty}a_k=0limk→∞ak=0
如果lim⁡k→∞ak≠0\lim_{k\to\infty}a_k\neq0limk→∞ak=0	这个级数发散

注意他们的因果关系。

有级数收敛，他们极限一定定于0

如果级数的极限不等于0，那么他一定发散。

也就是说如果你想要做判断，只有再它的极限不等于0的时候可以判断它是发散的。

但是如果他的极限不等于0，那么就无法判断，因为极限不等于0的话也可能是发散的级数。

调和级数

形如
∑k=1∞1k=1+12+13+14+......\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...... k=1∑∞k1=1+21+31+41+......
就是调和级数，调和级数总是发散的

积分判别法

使用积分判别法判定敛散性需要满足几个重要的条件

所给的式子容易被积分
递减的
连续的
正项的

也就是对于ak=f(k)a_k=f(k)ak=f(k),有k=1，2，3，4…有
∑k=1∞akand∫1∞f(x)dx\sum_{k=1}^{\infty}a_k \;\;\;\;\; and\;\;\;\;\;\;\int_{1}^{\infty}f(x)dx k=1∑∞akand∫1∞f(x)dx
的敛散性是一致的。

但需要注意的是，再收敛的情况下，积分的值一般不等于级数的值。

p级数

形如
∑k=1∞1kp\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p} k=1∑∞kp1

敛散性	p的值
收敛	p>1
发散	p ≤\le≤ 1

级数的估计值

这里首先引入一个余项的概念
Rn=∑k=1∞ak−∑k=1nakR_n=\sum_{k=1}^{\infty}a_k-\sum_{k=1}^{n}a_k Rn=k=1∑∞ak−k=1∑nak
也就是余项RnR_nRn是级数SnS_nSn的第n项一直到最后的值的和。

这里我们用积分去确定余项的范围
∫n+1∞f(x)dx≤Rn\int_{n+1}^{\infty}f(x)dx \le R_n ∫n+1∞f(x)dx≤Rn

Rn≤∫n∞f(x)dxR_n\le \int_{n}^{\infty}f(x)dx Rn≤∫n∞f(x)dx

所以这样就得出了结论
∫n+1∞f(x)dx≤Rn≤∫n∞f(x)dx\int_{n+1}^{\infty}f(x)dx\le R_n \le\int_{n}^{\infty}f(x)dx ∫n+1∞f(x)dx≤Rn≤∫n∞f(x)dx

起始开始我看图也没有理解这个公式，但是在反复几次观察后还是理解了，因为余项是从n开始的级数，毫无疑问的是，它肯定大于n+1项的级数和小于n-1项的级数和，但是得出这样的结论并没有意义，所以我们拿积分去继续缩小余项的一个范围。

首先要知道的是，无论是图1还是图2，这个级数的形状，大小都是不变的。

所以下标的n或者n+1都是针对于积分来说的，于是在级数图形开始时n或者n+1都是没有影响大，所以就会有图上的大小对比的图形，

我们都知道
S=∑k=1∞ak=∑k=1n+RnS = \sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{n}+R_n S=k=1∑∞ak=k=1∑n+Rn
这时候我们把不等式的每一个项都加上∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty}a_k∑k=1∞ak会得到

ps：我其实也不知道推到这个的应用是什么，可能是刚开始学习吧，整个理解的也不是很清晰，反正就是这样大概。

比率，根值和比较判别法

比值判别法

如果∑ak\sum a_k∑ak是正数项的无穷级数，那么有r=lim⁡k→∞ak=1akr=\lim_{k\to \infty}\frac{a_{k=1}}{a_k}r=limk→∞akak=1

如果0≤\le≤r<1,这个级数收敛
r>1(包含了r等于无穷的情况)，那么这个级数发散。
如果r =1，这个级数无法判定

根式判别法

如果∑ak\sum a_k∑ak是一个都是非负向的无穷级数，那么就有ρ=lim⁡k→∞akk\rho =\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}ρ=limk→∞kak

如果0≤ρ\le \rho≤ρ<1,这个级数收敛
如果ρ\rhoρ>1(包括ρ\rhoρ为无穷的情况)，那么这个级数发散
如果ρ\rhoρ=1，那么这个级数无法判断

比较判别法

如果∑ak\sum a_k∑ak和∑bk\sum b_k∑bk是带正数项的级数

如果0<ak≤bka_k\le b_kak≤bk,而且∑bk\sum b_k∑bk收敛的话，那么aka_kak收敛
如果0<bk≤akb_k \le a_kbk≤ak,而且∑bk\sum b_k∑bk发散的话，那么∑ak\sum a_k∑ak发散

此外，比较判别法还有它的一个极限形式

比较判别法的极限形式

如果∑ak\sum a_k∑ak和∑bk\sum b_k∑bk是带正数项的级数
lim⁡k→∞akbk=L\lim_{k\to \infty}\frac{a_k}{b_k}=L k→∞limbkak=L

如果0<L<∞\infty∞,那么∑ak\sum a_k∑ak和∑bk\sum b_k∑bk的敛散性一致
如果L=0,而且∑bk\sum b_k∑bk收敛，那么∑ak\sum a_k∑ak收敛
如果L = ∞\infty∞,而且∑bk\sum b_k∑bk发散，那么∑ak\sum a_k∑ak发散

交错级数

交错级数判定法

形如有收敛的交错级数∑(−1)k+1ak\sum (-1)^{k+1}a_k∑(−1)k+1ak

级数的项是非增的（或者是在某一个有限项以后是非增的）
lim⁡k→∞ak=0\lim_{k \to \infty}a_k=0limk→∞ak=0

交错调和级数

交错调和级数总数收敛的，形如
∑k=1∞(−1)k+1k=1−12+13−15+......\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...... k=1∑∞k(−1)k+1=1−21+31−51+......

交错级数的余项

Rn=∣S−Sn∣R_n=|S-S_n|Rn=∣S−Sn∣

绝对收敛和条件收敛

∑ak\sum a_k∑ak本身收敛，这就是绝对收敛

此级数的绝对值收敛，那就是条件收敛

www很重要的

条件	结果
∑ak\sum a_k∑ak的绝对值收敛	∑ak\sum a_k∑ak 收敛
∑ak\sum a_k∑ak发散	∑ak\sum a_k∑ak 的绝对值发散

ps：
经常的我们会经常用交错级数判别法来判断上表判断不了的情况。