小球放入盒中的方法总结（排列组合）

本篇博客主要讲解球盒模型问题中所有情况，因为该问题是组合数学中的最常见的一类问题，所以有必要在这里详细地说一说。

该类问题涉及到三个因素，分别是球、盒子、盒子是否可以为空。所以大概可以将该问题分为以下八种情况：

1.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目无限制，有多少种情况？

2.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

3.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

4.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

5.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

6.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

7.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

8.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

总的来说，分为以下8种情况：

球	盒子	盒子内数目限制
无区别	有标志	数目不限
无区别	有标志	无一空盒
无区别	无标志	数目不限
无区别	无标志	无一空盒
有区别	有标志	数目不限
有区别	有标志	无一空盒
有区别	无标志	数目不限
有区别	无标志	无一空盒

下面开始详细讲解：

1.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目无限制，有多少种情况？

方法数目为：F(n,r)=Crn+r−1=(n+r−1)!r!(n−1)!F(n,r)=Cn+r−1r=(n+r−1)!r!(n−1)!

本质上是多重组合问题，也就是从n个不同的元素中可重复地选取r个不考虑顺序的组合数为F(n,r)

2.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数目为：∑ni=0(−1)iCin(n−i)r∑i=0n(−1)iCni(n−i)r

可以用容斥原理来解答，设AiAi表示盒子i为空的情况，那么方法数就是|A1¯¯¯¯¯¯∩A2¯¯¯¯¯¯...∩An¯¯¯¯¯¯|=nr−C1n(n−1)r+C2n(n−2)r+...+(−1)nCnn(n−n)r|A1¯∩A2¯...∩An¯|=nr−Cn1(n−1)r+Cn2(n−2)r+...+(−1)nCnn(n−n)r

或者可以从第二类Stirling数的角度来思考，方法数为n!S(r,n)n!S(r,n),结果和上面的一致。

3.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

可以用母函数或者多重组合来解决，方法数为Cr−nr−1=Cn−1r−1Cr−1r−n=Cr−1n−1

4.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数为第二类Stirling数，S(r,n)=1n!∑ni=0(−1)iCin(n−i)rS(r,n)=1n!∑i=0n(−1)iCni(n−i)r

这里说明一下，第二类Stirling数S(r,n)就是将r个元素的集合划分为n个不相交非空子集的方案数。

5.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

这种情况最简单了，方案数目为nrnr

也就是每次放一个球，都有n种放法。

6.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

这种情况也是用第二类Stirling数来解决，可以理解为有0个盒子为空，有1个盒子为空，有两个盒子为空……

方案数目为S(r,1)+S(r,2)+...+S(r,n)S(r,1)+S(r,2)+...+S(r,n)

其中，S(r,n)表示划分成n个子集，也就是没有一个为空，S(r,n-1)划分为n-1个子集，也就是有一个盒子为空。

7.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

方法数目为1(1−x)(1−x2)...(1−xn)1(1−x)(1−x2)...(1−xn)的xrxr的系数

8.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数目为xn(1−x)(1−x2)...(1−xn)xn(1−x)(1−x2)...(1−xn)的xrxr的系数

第7、8两种情况较为复杂，在此不做解释。

小球放入盒中的方法总结（排列组合）相关推荐

java jsp js xml_jsp实现将信息放入xml中的方法
本文实例讲述了jsp实现将信息放入xml中的方法.分享给大家供大家参考,具体如下: 一.jsp代码: 省: 北京广东海南市: 北京二.ajax代码创建服务器请求代码不用写了,写onchange ...
python读取一行数组_python 把文件中的每一行以数组的元素放入数组中的方法
有时候需要把文件中的数据放入到数组中,这里提供了一种方法,可以根据文件结尾的标记进行数据拆分,然后再把拆分的文件放入数组中 # -*-coding: utf-8 -*- f = open(" ...
mysql导出oracle_如何将mysql中的表结构导出放入oracle中
展开全部将mysql中的表结构导出放入oracle中的方法: 1.导出mysql的表结构sql脚本,然后修改mysql中的数据类型为oracle中的数据类型: MySql与Oracle数据类型的62 ...
Xilinx FPGA 将寄存器放入IOB中
xilinx FPGA的资源一般指IOB,CLB,BRAM,DCM,DSP五种资源.其中IOB就是input/output block,完成不同电气特性下对输入输出信号的的驱动和匹配要求. IOB的作 ...
n个小球放入m个盒子中_N个小球放进M个盒子算法
N个小球放入M个盒子共有多少种方法,并输出的算法设计: 算法思路1 :暴力填充盒子每个小球都可能放入M个盒子的任意一个,所以直接根据小球个数做递归即可,然后将存储放入hash中排重 //TODO 算 ...
[概率练习]n个小球放入m个盒子
球可以相同也可以不同,盒子可以一样也可以不一样,盒子可以空也可以不能空,那么一共就有2*2*2=8种 n个小球放入m个盒子 1.球同,盒不同,不能空用插板法一共有n-1个空隙(总共n+1个空隙,不 ...
将n个相同小球放入m个不同盒子内的放法种数
现在有10个球,要放进3个盒子里 ●●●●●●●●●● 隔2个板子,把10个球被隔开成3个部份 ●|●|●●●●●●●●.●|●●|●●●●●●●.●|●●●|●●●●●●.●|●●●●|●●●●●. ...
[ACM] POJ 1664 放苹果（n个相同小球放入m个相同盒子）
放苹果 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 25952 Accepted: 16509 Description ...
包+类导入+静态导入+类放入包中+包作用域
[0]README 0.1)本文转自 core java volume 1, 旨在理清包和类导入的相关知识: [1] 包 1.1) java 允许使用包将类组织起来,包可以方便组织代码,并将自己的代 ...
set是无序集合，放入set中的元素通过iterator输出时候是无序的
set是无序集合,放入set中的元素通过iterator输出时候是无序的 HashMap<String , String> hashMap = new HashMap<String ...

小球放入盒中的方法总结（排列组合）

本篇博客主要讲解球盒模型问题中所有情况，因为该问题是组合数学中的最常见的一类问题，所以有必要在这里详细地说一说。

该类问题涉及到三个因素，分别是球、盒子、盒子是否可以为空。所以大概可以将该问题分为以下八种情况：

1.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目无限制，有多少种情况？

2.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

3.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

4.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

5.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

6.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

7.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

8.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

总的来说，分为以下8种情况：

下面开始详细讲解：

1.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目无限制，有多少种情况？

方法数目为：F(n,r)=Crn+r−1=(n+r−1)!r!(n−1)!F(n,r)=Cn+r−1r=(n+r−1)!r!(n−1)!

本质上是多重组合问题，也就是从n个不同的元素中可重复地选取r个不考虑顺序的组合数为F(n,r)

2.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数目为：∑ni=0(−1)iCin(n−i)r∑i=0n(−1)iCni(n−i)r

可以用容斥原理来解答，设AiAi表示盒子i为空的情况，那么方法数就是|A1¯¯¯¯¯¯∩A2¯¯¯¯¯¯...∩An¯¯¯¯¯¯|=nr−C1n(n−1)r+C2n(n−2)r+...+(−1)nCnn(n−n)r|A1¯∩A2¯...∩An¯|=nr−Cn1(n−1)r+Cn2(n−2)r+...+(−1)nCnn(n−n)r

或者可以从第二类Stirling数的角度来思考，方法数为n!S(r,n)n!S(r,n),结果和上面的一致。

3.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

可以用母函数或者多重组合来解决，方法数为Cr−nr−1=Cn−1r−1Cr−1r−n=Cr−1n−1

4.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数为第二类Stirling数，S(r,n)=1n!∑ni=0(−1)iCin(n−i)rS(r,n)=1n!∑i=0n(−1)iCni(n−i)r

这里说明一下，第二类Stirling数S(r,n)就是将r个元素的集合划分为n个不相交非空子集的方案数。

5.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

这种情况最简单了，方案数目为nrnr

也就是每次放一个球，都有n种放法。

6.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

这种情况也是用第二类Stirling数来解决，可以理解为有0个盒子为空，有1个盒子为空，有两个盒子为空……

方案数目为S(r,1)+S(r,2)+...+S(r,n)S(r,1)+S(r,2)+...+S(r,n)

其中，S(r,n)表示划分成n个子集，也就是没有一个为空，S(r,n-1)划分为n-1个子集，也就是有一个盒子为空。

7.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

方法数目为1(1−x)(1−x2)...(1−xn)1(1−x)(1−x2)...(1−xn)的xrxr的系数

8.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数目为xn(1−x)(1−x2)...(1−xn)xn(1−x)(1−x2)...(1−xn)的xrxr的系数

第7、8两种情况较为复杂，在此不做解释。

小球放入盒中的方法总结（排列组合）相关推荐

最新文章

热门文章