基础数学4：导数、偏导数、方向导数、梯度、全微分回顾

（1）导数：

①导数的定义：

导数代表自变量的变换趋于无穷小时，函数值变化与自变量变化的比值，反映函数 $y=f(x)$ 在某一点处沿x方向的变化率。

在一元函数中只存在一个方向上的变化率，因此一元函数没有偏导数。

②导数公式：

$f^{'}(x_{0})=\lim_{x\to0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x}=\frac{dy}{dx}$

其中： $\bigtriangleup x$ ：x的变化量；

$\bigtriangleup y$ ：y的增量；

dx：x的变化量 $\bigtriangleup x$ 趋于0时；

dy： $dy=f^{'}(x_{0})\cdot dx$ ，为切线的增量。

（2）偏导数：

①偏导数的定义：

偏导数指多元函数中，函数 $y=f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ 在某一点沿某一坐标轴 $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ 正方向的变化率。

偏导数为某自变量趋于0时，函数值变化与自变量变化量的比值的极限（变化率）。

$\frac{\partial }{\partial x_{j} }f(x_{0},x_{1}...x_{n})=\lim_{x\to0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x_{0},x_{1},...x_{j}+\bigtriangleup x,...x_{n})-f(x_{0},x_{1}...x_{j}...x_{n})}{\bigtriangleup x}$

偏导数为某自变量变化趋于0时，函数值变化与自变量变化量的比值的极限（变化率）。

（3）方向导数：

①方向导数的定义：

方向导数指某一点在某一趋近方向上的导数值，用于计算函数沿任意方向的变化率。

②方向导数公式：

（4）梯度：

①梯度的意义：

用于定义函数在变量空间的一点处，沿哪个方向有最大的变化率。

②梯度的定义：

函数在某一点的梯度是一个向量，它的向量与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值。

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在平面区域D上有一阶连续偏导数，则对于每一个点P（x，y）都可以定义出一个向量 $\left \{ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right \}=f_{x}(x,y)\bar{i}+f_{y}(x,y)\bar{j}$ ，该向量就称为函数 $z=f(x,y)$ 在点（x，y）的梯度，记作gradf（x，y）或 $\bigtriangledown f(x,y)$ .

③梯度的理解举例：

站在山上，沿着梯度的方向可以最快到达山底。

梯度是一个向量，表示函数f在空间的某个点的各个维度的陡峭程度，梯度的方向是函数增长最快的方向，梯度的反方向是函数降低最快的方向。

（5）全微分：

①全增量的定义：

设二元函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某邻域内有定义，当变量x，y在点（x，y）处分别有增量 $\bigtriangleup x$ ， $\bigtriangleup y$ 时函数取得的增量，称为f（x，y）在（x，y）处的全增量。

$\bigtriangleup z=f(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)-f(x,y)$

②全微分的定义：

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全增量 $\bigtriangleup z=f(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)-f(x,y)$ 可表示为:

$\bigtriangleup z=A\bigtriangleup x+B\bigtriangleup y+o(\rho )(\rho \rightarrow 0)$

其中A、B仅与x，y有关，而不依赖于 $\bigtriangleup x$ 、 $\bigtriangleup y$ ， $\rho =\sqrt{(\bigtriangleup x )^{2}+(\bigtriangleup y )^{2}}$ ,则称函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分， $\bigtriangleup z=A\bigtriangleup x+B\bigtriangleup y$ 称为函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全微分，记作： $d z=A\bigtriangleup x+B\bigtriangleup y$ 。

③全微分的理解：

1）在一元可微函数中，用切线代替曲线得到微分的公式为： $\bigtriangleup y=f'(x_{0})dx+o(\bigtriangleup x)$ 。

2）在多元可微函数中，用曲面的切平面（以二元为例）代替曲面，以此得到全微分的公式：

$d z=f'_{x}(x,y)dx+f'_{y}(x,y)dy+o(\rho )$

3）推导过程：

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