51nod 1843 排列合并机【DP去重】Ender的模拟赛

题目描述

有两个1~n的排列A,B,序列C一开始为空,每次可以选择进行以下两种操作之一
1)若A不为空,则可取出A的开头元素放在序列C的末尾
2)若B不为空,则可取出B的开头元素放在序列C的末尾
这样当A,B皆为空时,C称为排列A,B的合并,其长度为2*n
记F(A,B)为A,B的所有可能合并的总数，两个合并数列不同当且仅当某一位不同
求对于所有可能的1~n的排列A,B,F(A,B)的和,mod 998244353
1<=n<=100
（51nod上mod是读入的）

题目分析：

考虑怎么样合并会重复，是有一段长度为2*len的合并序列，A占len，B占len，且A=B，这样调换A，B的顺序是一样的，称这样的串为好串，并且好串的前缀不能为好串。
考虑在A,B数列确定的情况下，用f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示A选了i个，B选了j个的合并方案数。
有转移f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−1]−∑d=1sg[d]∗f[i−d][j−d]f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]-\sum_{d=1}^sg[d]*f[i-d][j-d]f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−1]−∑d=1sg[d]∗f[i−d][j−d]
其中s为A[1,i]与B[1,j]的最长公共后缀长度，g[d]为用长度为d的两个相同串组成好串且前缀不为好串的方案数，由好串的定义可知，它等价于从(0,0)走到(d,d)，第一步向左，中途不能碰到x=y的方案数，于是有g[d]=Catalan(d−1)g[d]=Catalan(d-1)g[d]=Catalan(d−1)。

数列不定的情况下，无法得知公共后缀长度。我们需要增加一维kkk表示A[1,i]与B[1,j]中相同的数字个数。
有如下转移：

if(i<n)f[i+1][j][k]=(f[i+1][j][k]+1ll*f[i][j][k]*(n-i-j+k))%mod,f[i+1][j][k+1]=(f[i+1][j][k+1]+1ll*f[i][j][k]*(j-k))%mod;
if(j<n)f[i][j+1][k]=(f[i][j+1][k]+1ll*f[i][j][k]*(n-i-j+k))%mod,f[i][j+1][k+1]=(f[i][j+1][k+1]+1ll*f[i][j][k]*(i-k))%mod;

去重：f[i][j][k]−=∑d=1k(n−((i−d)+(j−d)−(k−d))d)∗d!∗g[d]∗f[i−d][j−d][k−d]f[i][j][k]-=\sum_{d=1}^k{n-((i-d)+(j-d)-(k-d))\choose d}*d!*g[d]*f[i-d][j-d][k-d]f[i][j][k]−=d=1∑k(dn−((i−d)+(j−d)−(k−d)))∗d!∗g[d]∗f[i−d][j−d][k−d]
f[n][n][n]f[n][n][n]f[n][n][n]即为答案。循环枚举k的时候注意k∈[max⁡(0,i+j−n),min⁡(i,j)]k\in[\max(0,i+j-n),\min(i,j)]k∈[max(0,i+j−n),min(i,j)]，因为i+j−k≤ni+j-k\le ni+j−k≤n，所以k≥i+j−nk\ge i+j-nk≥i+j−n。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 105
using namespace std;
const int mod = 998244353;
int n,f[maxn][maxn][maxn],c[maxn<<1][maxn<<1],Cat[maxn],fac[maxn];
int main()
{freopen("R.in","r",stdin);freopen("R.out","w",stdout);scanf("%d",&n);c[0][0]=Cat[0]=fac[0]=1;for(int i=1;i<=2*n;i++){c[i][0]=c[i][i]=1;for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;}for(int i=1;i<=n;i++) Cat[i]=(c[2*i][i]-c[2*i][i-1])%mod,fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;f[0][0][0]=1;for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++)for(int k=max(0,i+j-n);k<=min(i,j);k++){for(int d=1;d<=k;d++)f[i][j][k]=(f[i][j][k]-1ll*c[n-i-j+k+d][d]*f[i-d][j-d][k-d]%mod*Cat[d-1]%mod*fac[d])%mod;if(f[i][j][k]){if(i<n)f[i+1][j][k]=(f[i+1][j][k]+1ll*f[i][j][k]*(n-i-j+k))%mod,f[i+1][j][k+1]=(f[i+1][j][k+1]+1ll*f[i][j][k]*(j-k))%mod;if(j<n)f[i][j+1][k]=(f[i][j+1][k]+1ll*f[i][j][k]*(n-i-j+k))%mod,f[i][j+1][k+1]=(f[i][j+1][k+1]+1ll*f[i][j][k]*(i-k))%mod;}}printf("%d\n",(f[n][n][n]+mod)%mod);
}