二叉树--二叉搜索树

一直对AVL这个英文缩写比较困惑，原来一直以为是平衡二叉树的首字母缩写，但是又想不明白，哈！前段时间才明白原来是种这课树的三个人的名字的首字母的，哎，生活处处有惊喜，无知不可怕，现在我也知道了。废话不多说，下面我们说说，树形结构中的那些平衡二叉树。

二叉排序树

树的遍历顺序有3种，二叉排序树，顾名思义，就是一颗有序的二叉树，是一种按照中序遍历树中节点，而输出有序队列的一种树形结构，一种特殊的树形结构。

定义

对于二叉树，假设x为二叉树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。那么，这棵树就是二叉排序树。

二叉查找树是可以不平衡的！！！

杂谈：大多数人都称之为二叉查找树或者* 二叉搜索树*，从这一点，可以看出，其实并没有人用这种方式来进行数据的排序，而是在做查找或者是搜索的时候，常常使用，这也是它最为常见的应用场景。

性质

(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）；

建立

建立二叉查找树，就是要定义树形的结构，本文中的树形结构包括左右子树，父指针，节点权值，详细请见后面代码。

查找

按照左小右大的规则进行查找。

/** (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点*/
private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) {if (x==null)return x;int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp < 0)return search(x.left, key);else if (cmp > 0)return search(x.right, key);elsereturn x;
}public BSTNode<T> search(T key) {return search(mRoot, key);
}

/** (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点*/
private BSTNode<T> iterativeSearch(BSTNode<T> x, T key) {while (x!=null) {int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp < 0) x = x.left;else if (cmp > 0) x = x.right;elsereturn x;}return x;
}public BSTNode<T> iterativeSearch(T key) {return iterativeSearch(mRoot, key);
}

插入

整个插入的过程如上图所示，简单的一句话就是，先来的就是根节点，比根节点小的在左子树，比根节点大的在右子树，所以也就注定了，这种方式形成的树不是一颗二叉平衡树。

/* * 将结点插入到二叉树中** 参数说明：*     tree 二叉树的*     z 插入的结点*/
private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {int cmp;BSTNode<T> y = null;BSTNode<T> x = bst.mRoot;// 查找z的插入位置while (x != null) {y = x;cmp = z.key.compareTo(x.key);if (cmp < 0)x = x.left;elsex = x.right;}z.parent = y;if (y==null)bst.mRoot = z;else {cmp = z.key.compareTo(y.key);if (cmp < 0)y.left = z;elsey.right = z;}
}/* * 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中** 参数说明：*     tree 二叉树的根结点*     key 插入结点的键值*/
public void insert(T key) {BSTNode<T> z=new BSTNode<T>(key,null,null,null);// 如果新建结点失败，则返回。if (z != null)insert(this, z);
}

删除

上图中，是比较简单的一种删除节点的情况，在二叉查找树中，删除的情况总共分为三种：
1、删除节点的左子树为null，直接用右子树进行替换删除节点；
2、删除节点的右子树为null，直接用左子树进行替换；
3、删除节点 z 的左右子树都不为null，则查找要删除节点右子树的最小元素，调整取走最小元素 y 的局部结构，用 y 节点的右节点代替y（其实右节点就是空，都是最小了，哪还有右节点），局部结构调整完毕；然后用 y 来代替 z 节点，完毕。需要注意的一点是，在这个操作中，会涉及到父指针的操作，千万不要忘记

/* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点** 参数说明：*     bst 二叉树*     z 删除的结点*/
private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {BSTNode<T> x=null;BSTNode<T> y=null;if ((z.left == null) || (z.right == null) )y = z;elsey = successor(z);if (y.left != null)x = y.left;elsex = y.right;if (x != null)x.parent = y.parent;if (y.parent == null)bst.mRoot = x;else if (y == y.parent.left)y.parent.left = x;elsey.parent.right = x;if (y != z) z.key = y.key;return y;
}/* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点** 参数说明：*     tree 二叉树的根结点*     z 删除的结点*/
public void remove(T key) {BSTNode<T> z, node; if ((z = search(mRoot, key)) != null)if ( (node = remove(this, z)) != null)node = null;
}

完整的二叉搜索树代码如下：

/*** Java 语言: 二叉查找树** @author skywang* @date 2013/11/07*/public class BSTree<T extends Comparable<T>> {private BSTNode<T> mRoot;    // 根结点public class BSTNode<T extends Comparable<T>> {T key;                // 关键字(键值)BSTNode<T> left;    // 左孩子BSTNode<T> right;    // 右孩子BSTNode<T> parent;    // 父结点public BSTNode(T key, BSTNode<T> parent, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) {this.key = key;this.parent = parent;this.left = left;this.right = right;}public T getKey() {return key;}public String toString() {return "key:"+key;}}public BSTree() {mRoot=null;}/** 前序遍历"二叉树"*/private void preOrder(BSTNode<T> tree) {if(tree != null) {System.out.print(tree.key+" ");preOrder(tree.left);preOrder(tree.right);}}public void preOrder() {preOrder(mRoot);}/** 中序遍历"二叉树"*/private void inOrder(BSTNode<T> tree) {if(tree != null) {inOrder(tree.left);System.out.print(tree.key+" ");inOrder(tree.right);}}public void inOrder() {inOrder(mRoot);}/** 后序遍历"二叉树"*/private void postOrder(BSTNode<T> tree) {if(tree != null){postOrder(tree.left);postOrder(tree.right);System.out.print(tree.key+" ");}}public void postOrder() {postOrder(mRoot);}/** (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点*/private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) {if (x==null)return x;int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp < 0)return search(x.left, key);else if (cmp > 0)return search(x.right, key);elsereturn x;}public BSTNode<T> search(T key) {return search(mRoot, key);}/** (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点*/private BSTNode<T> iterativeSearch(BSTNode<T> x, T key) {while (x!=null) {int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp < 0) x = x.left;else if (cmp > 0) x = x.right;elsereturn x;}return x;}public BSTNode<T> iterativeSearch(T key) {return iterativeSearch(mRoot, key);}/* * 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。*/private BSTNode<T> minimum(BSTNode<T> tree) {if (tree == null)return null;while(tree.left != null)tree = tree.left;return tree;}public T minimum() {BSTNode<T> p = minimum(mRoot);if (p != null)return p.key;return null;}/* * 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。*/private BSTNode<T> maximum(BSTNode<T> tree) {if (tree == null)return null;while(tree.right != null)tree = tree.right;return tree;}public T maximum() {BSTNode<T> p = maximum(mRoot);if (p != null)return p.key;return null;}/* * 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。*/public BSTNode<T> successor(BSTNode<T> x) {// 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。if (x.right != null)return minimum(x.right);// 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：// (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。// (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。BSTNode<T> y = x.parent;while ((y!=null) && (x==y.right)) {x = y;y = y.parent;}return y;}/* * 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。*/public BSTNode<T> predecessor(BSTNode<T> x) {// 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。if (x.left != null)return maximum(x.left);// 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：// (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。// (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。BSTNode<T> y = x.parent;while ((y!=null) && (x==y.left)) {x = y;y = y.parent;}return y;}/* * 将结点插入到二叉树中** 参数说明：*     tree 二叉树的*     z 插入的结点*/private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {int cmp;BSTNode<T> y = null;BSTNode<T> x = bst.mRoot;// 查找z的插入位置while (x != null) {y = x;cmp = z.key.compareTo(x.key);if (cmp < 0)x = x.left;elsex = x.right;}z.parent = y;if (y==null)bst.mRoot = z;else {cmp = z.key.compareTo(y.key);if (cmp < 0)y.left = z;elsey.right = z;}}/* * 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中** 参数说明：*     tree 二叉树的根结点*     key 插入结点的键值*/public void insert(T key) {BSTNode<T> z=new BSTNode<T>(key,null,null,null);// 如果新建结点失败，则返回。if (z != null)insert(this, z);}/* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点** 参数说明：*     bst 二叉树*     z 删除的结点*/private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {BSTNode<T> x=null;BSTNode<T> y=null;if ((z.left == null) || (z.right == null) )y = z;elsey = successor(z);if (y.left != null)x = y.left;elsex = y.right;if (x != null)x.parent = y.parent;if (y.parent == null)bst.mRoot = x;else if (y == y.parent.left)y.parent.left = x;elsey.parent.right = x;if (y != z) z.key = y.key;return y;}/* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点** 参数说明：*     tree 二叉树的根结点*     z 删除的结点*/public void remove(T key) {BSTNode<T> z, node; if ((z = search(mRoot, key)) != null)if ( (node = remove(this, z)) != null)node = null;}/** 销毁二叉树*/private void destroy(BSTNode<T> tree) {if (tree==null)return ;if (tree.left != null)destroy(tree.left);if (tree.right != null)destroy(tree.right);tree=null;}public void clear() {destroy(mRoot);mRoot = null;}/** 打印"二叉查找树"** key        -- 节点的键值 * direction  --  0，表示该节点是根节点;*               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;*                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。*/private void print(BSTNode<T> tree, T key, int direction) {if(tree != null) {if(direction==0)    // tree是根节点System.out.printf("%2d is root\n", tree.key);else                // tree是分支节点System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left");print(tree.left, tree.key, -1);print(tree.right,tree.key,  1);}}public void print() {if (mRoot != null)print(mRoot, mRoot.key, 0);}
}

文中代码和图参考自如果天空不死

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二叉树--二叉搜索树

定义

性质

建立

查找

插入

删除

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