矢量导数——角速度与矢量的叉乘

2024-05-14 01:43:20

矢量导数——角速度与矢量的叉乘

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矢量叉乘，向量外积

矢量导数——角速度与矢量的叉乘
1. 定理
证明
证明结论部分

1. 定理

矢量的导数为角速度叉乘以该适量。

这也是角速度的定义。
角速度在一般意义上是一个二阶张量，不过由于这个张量满足某些约束条件，自由的分量个数恰好变成了3个，所以正好可以拼凑成一个三分量矢量。

刚体绕定轴旋转时，角速度矢量的方向垂直于旋转平面，且按右手螺旋法则确定

证明

定义矢量在本体坐标系表示为rar_ara，在旋转坐标系的表示为rbr_brb，两个坐标系之间的旋转矩阵为R。则存在
ra=Rrbr_a=Rr_bra=Rrb
两边求导得到
r˙a=R˙rb+Rr˙b=Rr˙b+R˙R−1ra\begin{aligned} \dot{r}_a&=\dot{R}r_b + R\dot{r}_b\\ &= R\dot{r}_b + \dot{R}R^{-1}r_a \end{aligned}r˙a=R˙rb+Rr˙b=Rr˙b+R˙R−1ra

由于坐标旋转矩阵为酉矩阵，即R−1=RTR^{-1}=R^TR−1=RT，则
r˙a=Rr˙b+R˙RTra\begin{aligned} \dot{r}_a&= R\dot{r}_b + \dot{R}R^Tr_a \end{aligned}r˙a=Rr˙b+R˙RTra

定义相对倒数：
Rr˙b=ddtraR\dot{r}_b=\frac{d}{dt}r_aRr˙b=dtdra
表示该矢量在旋转坐标系中的坐标相对时间变化率转到本体坐标系。

引入角速度张量
R˙RT=Ω\dot{R}R^T=\OmegaR˙RT=Ω

则可以得到
ΩT=RR˙TΩ+ΩT=ddt(RRT)=ddt(I)=0\begin{aligned} &\Omega^T=R\dot{R}^T\\ &\Omega + \Omega^T=\frac{d}{dt}(RR^T)=\frac{d}{dt}(I)=0 \end{aligned}ΩT=RR˙TΩ+ΩT=dtd(RRT)=dtd(I)=0
其中RRTRR^TRRT基于酉矩阵性质。

同时可以得到
Ω=−ΩT\Omega=-\Omega^TΩ=−ΩT
满足这个条件的张量就是所谓的“斜对称矩阵”，在这个约束条件下，角速度张量可以写成
Ω=[0−ωyωzωy0−ωx−ωzωx0]\Omega=\begin{bmatrix}0&-\omega_y&\omega_z\\\omega_y&0&-\omega_x\\ -\omega_z &\omega_x &0\end{bmatrix}Ω=⎣⎡0ωy−ωz−ωy0ωxωz−ωx0⎦⎤

如果把旋转坐标系看成是“固连”在刚体上的坐标系，那么这个定义就是刚体角速度的定义。
现在定义角速度矢量
ω=[ωx,ωy,ωz]\omega=[\omega_x,\omega_y, \omega_z]ω=[ωx,ωy,ωz]
则
Ωra=ω×ra\Omega r_a = \omega\times r_aΩra=ω×ra

证明结论部分

因此可以得到
r˙a=ddtra+R˙RTra=ddtra+ω×ra\begin{aligned} \dot{r}_a&=\frac{d}{dt}r_a + \dot{R}R^Tr_a\\ &=\frac{d}{dt}r_a + \omega\times r_a \end{aligned}r˙a=dtdra+R˙RTra=dtdra+ω×ra

如果这个矢量相对于旋转坐标系是固定的（比如刚体上固定点在固连坐标系中的位置矢量），那么“相对导数”为零，这种情况下就有
r˙a=ω×ra\begin{aligned} \dot{r}_a= \omega\times r_a \end{aligned}r˙a=ω×ra

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