最小编辑距离(Minimum Edit Distance)

概念

编辑距离的概念：

给定两个字符串oppa和apple，如何把前者变成后者？你可以使用的操作有：1.增加字符2.删除字符3.更新字符。

一种可能的做法是：

oppa->appa->appl->apple：共使用了3次编辑。

可以验证，上面的字符串转换做法就是最小编辑距离，其他的做法诸如：

oppa->aoppa->apppa->appla->apple：4次

这都不是我们想要的。

求解

求解两个字符串的最小编辑距离，我们使用动态规划(dynamic programing)的思想。因为我们发现这个问题可以有如下的问题分解形式，即：
我们一旦确定了两个字符串设为 w 1 = w m a , w 2 = w n b w_1=w_ma,w_2=w_nb w1=wma,w2=wnb（这里是将 w 1 , w 2 w_1,w_2 w1,w2分解成了两部分，其中a,b是一个字符，前面的 w m , w n w_m,w_n wm,wn是前面的子串，以上6个符号均可为空）的最小编辑距离 L ( w 1 , w 2 ) L(w_1,w_2) L(w1,w2)和相应的编辑操作序列，那么必有：

若 a , b a,b a,b不相等，则：
L ( w 1 , w 2 ) = m i n ( L ( w m , w n ) , L ( w m , w 2 ) , L ( w 1 , w n ) ) + 1 L(w_1,w_2)=min(L(w_m,w_n),L(w_m,w_2),L(w_1,w_n))+1 L(w1,w2)=min(L(wm,wn),L(wm,w2),L(w1,wn))+1
若 a , b a,b a,b相等，则：
L ( w 1 , w 2 ) = L ( w m , w n ) L(w_1,w_2)=L(w_m,w_n) L(w1,w2)=L(wm,wn)

显然，上面的两个式子，我们把原问题分解到了规模更小的子问题，这就是动态规划。
上面两个式子没看懂没关系，下面有例子

例子

下面展示动态规划是如何解决oppa和apple的最小编辑距离的。
我们知道动态规划有2步核心，一步是上面的状态转移方程，就是上面的式子，一步是初始状态的确定。

1.初始化

首先在每个字符串的前面添加一个空格(在这里也可以叫做空串）。为什么要添加？显然，按照上面的转移方程 L ( w 1 , w 2 ) = m i n ( L ( w m , w n ) , L ( w m , w 2 ) , L ( w 1 , w n ) ) + 1 L(w_1,w_2)=min(L(w_m,w_n),L(w_m,w_2),L(w_1,w_n))+1 L(w1,w2)=min(L(wm,wn),L(wm,w2),L(w1,wn))+1，要解决后面的问题，需要前面3个子问题的答案才能解决。而这三个子问题不就是左上，左，上的格子要先初始化填好吗？即：

初始化是简单的，拿上面的图片为例，其他依次类推。

空格变成空格，需要0次编辑
空格变成a，需要1次编辑（添加操作）
o变成空格，需要1次编辑（删除操作）

依次求解

接下来根据转移方程依次求解剩下来的格子

为什么格子填入了1？由于o和a不相等，所以应用第一个公式 L ( w 1 , w 2 ) = m i n ( L ( w m , w n ) , L ( w m , w 2 ) , L ( w 1 , w n ) ) + 1 L(w_1,w_2)=min(L(w_m,w_n),L(w_m,w_2),L(w_1,w_n))+1 L(w1,w2)=min(L(wm,wn),L(wm,w2),L(w1,wn))+1，我们发现左上，左，上三个格子中最小的是左上0，然后0+1=1，这就是最终结果。
结果解释：由于是从左上选取的，所以就是说此过程有两步，1.o前面的空串经过0次编辑变成了a前面的空串2.将o替换为a。

为什么格子填入了2？由于o和p不相等，所以应用第一个公式 L ( w 1 , w 2 ) = m i n ( L ( w m , w n ) , L ( w m , w 2 ) , L ( w 1 , w n ) ) + 1 L(w_1,w_2)=min(L(w_m,w_n),L(w_m,w_2),L(w_1,w_n))+1 L(w1,w2)=min(L(wm,wn),L(wm,w2),L(w1,wn))+1，我们发现左上，左，上三个格子中最小的是左上1或者左1，然后1+1=2，这就是最终结果。

结果解释：两种选择

如果是从左上选取的，所以就是说此过程有两步，1.o前面的空串已经经过1次编辑变成了a2.将o替换为p。
如果是从左选取的，所以就是说此过程有两步，1.o已经经过1次编辑变成了a2.添加一个p。

其他依次类推，此处省略若干步，到达第二个公式的用武之地：

为什么(p,p)处填入1？根据第二个公式，由于两个字符相等，都是p，所以： L ( w 1 , w 2 ) = L ( w m , w n ) L(w_1,w_2)=L(w_m,w_n) L(w1,w2)=L(wm,wn)，即找左上的（o,a）=1拿过来就行了。
第二个公式的证明：
其实也可以继续使用之前的那个公式，但是需要稍微更改一下，即有能达到目的的3种候选方案，分别是：左上，左加1，上加1。然后选最小。，即：

L(op,ap)=min{1,2+1,2+1}=1

上述3种方案的含义：

左上方案，因为最后一个字母相同，所以左上完成后（o已经->a），就相当于整个完成了。
左加1，因为左边是指op->a最短需要2步，此时op已经变成了a，当然还要有一个添加p的操作，所以要加1。
为什么要上加1，因为上面是o->ap最短需要2步，此时o变成了ap,当然就要把op中的p进行删除操作即可，所以加1。

下一个要证明的问题：为什么这三者一定是左上最小呢？
因为相邻的值的绝对值之差，可能为0，最大为1。由于左和左上相邻，所以最多相差1，由于上和左上相邻，所以最多也相差1。

左加1（那么加1后肯定大于等于左上）
上加1（那么加1后肯定页大于等于左上）

有了这个结论，我们就可以大胆地选择公式2了，即当 a = b a=b a=b时直接选左上的。

公布最终结果