数字通信第四章——波形解调与最佳检测接收
\quad输入s(t)s(t)s(t)经过AWGN信道后得到r(t)r(t)r(t)，即r(t)=sm(t)+n(t)r(t)=s_m(t)+n(t)r(t)=sm(t)+n(t)。
\quad将sm(t)s_m(t)sm(t)进行施密特正交化，可以写成sm(t)=∑j=1Nsmjϕj(t)s_m(t)=\sum_{j=1}^Ns_{mj}\phi_j(t)sm(t)=∑j=1Nsmjϕj(t)，这样就可以得到波形的矢量表达式。噪声n(t)n(t)n(t)不能使用ϕj(t)\phi_j(t)ϕj(t)全部展开，可以将其分解成两部分：
- n1(t)n_1(t)n1(t)：噪声n(t)n(t)n(t)中能够以ϕj(t)\phi_j(t)ϕj(t)展开的部分，n1(t)=∑j=1Nnjϕj(t)n_1(t)=\sum_{j=1}^Nn_j\phi_j(t)n1(t)=∑j=1Nnjϕj(t)
- n2(t)n_2(t)n2(t)：噪声n(t)n(t)n(t)中不能以ϕj(t)\phi_j(t)ϕj(t)展开的部分，n2(t)=n(t)−n1(t)n_2(t)=n(t)-n_1(t)n2(t)=n(t)−n1(t)
\quad最终，r(t)=∑j=1Nrjϕj(t)+n2(t)r(t)=\sum_{j=1}^Nr_j\phi_j(t)+n_2(t)r(t)=∑j=1Nrjϕj(t)+n2(t)，其中rj=smj+njr_j=s_{mj}+n_jrj=smj+nj。
\quadnjn_jnj是随机变量n(t)n(t)n(t)的线性组合，是高斯的，均值为0，方差为N0/2N_0/2N0/2。n2(t)n_2(t)n2(t)也是高斯过程，因为n(t),n1(t)n(t),n_1(t)n(t),n1(t)是高斯过程。
\quad结论：n2(t),rjn_2(t),r_jn2(t),rj是不相关的，因此rjr_jrj是携带发送信号的唯一分量，所以， n2(t)n_2(t)n2(t)不包含与发送信号有关的任何信息，即n2(t)n_2(t)n2(t)对最佳检测是无关的信息。可以忽略而不影响检测器的最佳性。
AWGN信道最佳接收机
\quad接收机作用：对接收信号r(t)r(t)r(t)进行观测，做出判决输出m^\hat{m}m^。
\quad最佳判决：导致最小错误概率的判决准则：Pe=P[m^≠m]P_e = P[\hat{m} ≠m]Pe=P[m^=m]。任务是根据r(t)r(t)r(t)设计一个接收机使得错误概率最小，这就是最佳接收机。
\quad接收机功能分为两步：解调（将波形转换成n维矢量）、检测器（判决）。
解调器
- 将接收到的信号加噪声变换成N维矢量。即将r(t)展开成一系列线性加权的标准正交基函数之和：r(t)=∑k=1Nrkϕk(t)r(t)=\sum_{k=1}^N r_k\phi_k(t)r(t)=∑k=1Nrkϕk(t)，将r(t)r(t)r(t)转化为矢量r(k)r(k)r(k)。可以用相关接收机来实现或匹配滤波器实现。
相关接收机
- rkr_krk的均值为E[rk]=E[smk+nk]=smkE[r_k]=E[s_{mk}+n_k]=s_{mk}E[rk]=E[smk+nk]=smk，方差为σr2=σn2=N0/2\sigma_r^2=\sigma_n^2=N_0/2σr2=σn2=N0/2
- 因此，随机变量r=[r1,r2,⋯,rN]r=[r_1,r_2,\cdots,r_N]r=[r1,r2,⋯,rN]的联合概率密度函数为P(r∣sm)=∏k=1NP(rk∣smk)P(r|s_m)=\prod_{k=1}^NP(r_k|s_{mk})P(r∣sm)=∏k=1NP(rk∣smk)，得到：
匹配滤波器
\quad用一组N个线性滤波器替代N个相关器来产生rkr_krk，滤波器的冲激响应hk(t)=ϕk(T−t)h_k(t)=\phi_k(T-t)hk(t)=ϕk(T−t)。滤波器输出为yk(t)=r(t)∗hk(t)=∫0Tr(τ)hk(t−τ)dτ=∫0Tr(τ)ϕk(T−t+τ)dτy_k(t)=r(t)*h_k(t)=\int_0^Tr(\tau)h_k(t-\tau)d\tau=\int_0^Tr(\tau)\phi_k(T-t+\tau)d\tauyk(t)=r(t)∗hk(t)=∫0Tr(τ)hk(t−τ)dτ=∫0Tr(τ)ϕk(T−t+τ)dτ。在t=Tt=Tt=T时抽样得到yk(T)=∫0Tr(τ)ϕk(τ)dτ=rky_k(T)=\int_0^Tr(\tau)\phi_k(\tau)d\tau=r_kyk(T)=∫0Tr(τ)ϕk(τ)dτ=rk。
\quad所谓匹配即为与原信号匹配，例如下图中h(t)=s(T−t)h(t)=s(T-t)h(t)=s(T−t)：
\quad当输入为带有噪声的信号s(t)+n(t)s(t)+n(t)s(t)+n(t)，使用匹配滤波器h(t)=s(T−t)h(t)=s(T-t)h(t)=s(T−t)时，在t=Tt=Tt=T时采样，输出结果的信噪比最大，为2∫0Ts2(t)dt/N02\int_0^T s^2(t)dt / N_02∫0Ts2(t)dt/N0。匹配滤波器的输出信噪比决定于信号波形s(t)s(t)s(t)的能量，与s(t)s(t)s(t)的细节特征无关。无噪声情况下匹配滤波器输出信号功率为Ps=∫0Ts2(t)dtP_s=\int_0^T s^2(t)dtPs=∫0Ts2(t)dt。
最佳检测器
\quad在观测向量r=[r1,r2,⋯,rN]r=[r_1,r_2,\cdots,r_N]r=[r1,r2,⋯,rN]的基础上，实现最佳判决，即使正确判决的概率最大。
后验概率：在观测向量r的基础上，推断发送信号sms_msm的概率：P(发送信号sm∣r),m=1,2,⋯,MP(发送信号s_m|r),m=1,2,\cdots,MP(发送信号sm∣r),m=1,2,⋯,M
最大后验概率准则MAP：选择后验概率集P(sm∣r)P(s_m|r)P(sm∣r)中最大值的信号
P(sm∣r)=P(r∣sm)P(sm)P(r)P(s_m|r)=\frac{P(r|s_m)P(s_m)}{P(r)}P(sm∣r)=P(r)P(r∣sm)P(sm)
当M个信号先验等概时，即P(sm)=1MP(s_m)=\frac{1}{M}P(sm)=M1，P(sm∣r)P(s_m|r)P(sm∣r)最大等价于P(r∣sm)P(r|s_m)P(r∣sm)最大。
我们称P(r∣sm)P(r|s_m)P(r∣sm)为似然函数，因此最大化后验概率在先验等概时等价于最大化似然函数ML。
在AWGN信道下，P(r∣sm)=1(πN0)N/2exp{−∑k=1N(rk−smk)2N0}P(r|s_m)=\frac{1}{(\pi N_0)^{N/2}}exp\{-\sum_{k=1}^N \frac{(r_k-s_{mk})^2}{N_0}\}P(r∣sm)=(πN0)N/21exp{−∑k=1NN0(rk−smk)2}，取对数可以得到InP(r∣sm)=−12In(πN0)−1N0∑k=1N(rk−smk)2InP(r|s_m)=-\frac{1}{2}In(\pi N_0)-\frac{1}{N_0}\sum_{k=1}^N(r_k-s_{mk})^2InP(r∣sm)=−21In(πN0)−N01∑k=1N(rk−smk)2。因此P(r∣sm)P(r|s_m)P(r∣sm)最大等价于∑k=1N(rk−smk)2\sum_{k=1}^N(r_k-s_{mk})^2∑k=1N(rk−smk)2最小。
经过重重推导，最小化∑k=1N(rk−smk)2\sum_{k=1}^N(r_k-s_{mk})^2∑k=1N(rk−smk)2等价于最大化C(r,sm)=2∫0Tr(t)sm(t)dt−∣∣sm∣∣2C(r,s_m)=2\int_0^Tr(t)s_m(t)dt-||s_m||^2C(r,sm)=2∫0Tr(t)sm(t)dt−∣∣sm∣∣2。因此最佳接收机可以将接受信号r(t)r(t)r(t)与M个可能发送的信号做相关运算，如下图所示：
也可以使用匹配滤波器在t=Tt=Tt=T时刻采样，效果一样。
判决域
误符号差错概率：Pe=∑m=1MPmP(r∉Dm∣smsent)=∑m=1MPmPe∣mP_e=\sum_{m=1}^MP_mP(r\notin D_m | s_m sent)=\sum_{m=1}^MP_mP_{e|m}Pe=∑m=1MPmP(r∈/Dm∣smsent)=∑m=1MPmPe∣m
误比特率：单个比特传输时的差错概率
接下来看看几种信号的误比特率
二进制PAM：二进制双极性信号
\quad信号波形：s1(t)=g(t),s2(t)=−g(t)s_1(t)=g(t),s_2(t)=-g(t)s1(t)=g(t),s2(t)=−g(t)
二进制正交信号
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