【RSA原理5】浅谈--密钥如何生成及其可靠性说明

前面讲了一些数论的基础知识，理解了什么是欧拉函数、欧拉定理以及如何求模反元素，那么接下来的问题就是如何生成密钥。

1.公钥私钥生成过程

2.可靠性分析

3.总结

1.公钥私钥生成过程

第一步：随机选择两个不相等的质数p和q

比如选择61和53（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解）。

第二步：计算p和q的乘积n

n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。

第三步：计算n的欧拉函数φ(n)

φ(n) = (p-1)(q-1)

φ(3233) = φ(61)*φ(53)=60*52=3120

算出φ(3233)等于60×52，即3120。

第四步，随机选择一个整数e

条件是在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537）

第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d

所谓"模反元素"就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

ed - 1 = kφ(n)

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120，

17x + 3120y = 1

这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解，此处后续将会介绍。最后算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。

第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

通过上述计算得到：n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。

实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达。

至此所有计算完成。

2.可靠性分析

通过前面的计算，得到了若干数据，可能感觉比较乱，为了方便后续的理论分析，我将出现的数据进行列表展示。

p	61
q	53
n	3233
φ(n)	3120
e	17
d	2753

这六个数字之中将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

那么进一步分析，有无可能私钥d会被破解出来？在知道了公钥n和e后能否推导出d？

① ed - 1 = kφ(n)：如果想知道d，就必须要知道e和φ(n)。

② φ(n) = (p-1)(q-1)：如果想求φ(n) ，那么就要知道p和q。

③ n=pq：只有将n因数分解，才能算出p和q。

可以发现，如果n被因数分解了，那么d就会被推导出来，那么私钥就会丢失。想想看n很容易被分解么？

其实大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。

假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解（1024位以上就已经无法破解了）。

只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413 。

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

3.总结

我通过了一段时间的学习，对非对称加密公钥私钥生成有了初步的认识，后期将会对其如何加密解密进行说明。相信只有懂得原理，才能更好的发展。欢迎大佬的补充留言。