CRC查表法运算原理

CRC校验是依据多项式模2运算进行的，这里有两点：

1. 一个二进制串总可以表示为多项式，例如：

10101 表示为 $x^{4}+x^{2}+1$

10111 表示为 $x^{4}+x^{2}+x^{1}+1$ ，依次类推更长数据的表示方法。

2. 模2运算的基本规则如下：

加法：0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=0 不进位

减法：0-0=0 0-1=1 1-0=1 1-1=0 不借位

模2加减运算与二进制异或运算相同

乘法：依据多项式模2加法算得 $(x^{2}+1)(x^{4}+x^{2}+1) = x^{6}+x^{4}+x^{4}+x^{2}+x^{2}+1 = x^{6}+1$

除法：依据多项式模2减法算得 $\frac{x^{6}+1}{x^{2}+1}$

多项式模2运算满足分配律和结合律：已知多项式 $X(n) \ X(m) \ X(k)$ 则

$(X(n)+X(m))X(k) = X(n)X(k)+X(m)X(k)$

$(X(n)+X(m))/X(k) = X(n)/X(k)+X(m)/X(k)$

一个多项式模2加上自身恒为0，即 $X(n) + X(n) = 0$

CRC校验码生成方式为多项式除法求余。准备一组待发送的二进制数据和一个除数，将二进制数据左移n位，再依照多项式模2除法除以除数，取得的余数即为CRCn的校验码。例如CRC8校验码生成方法为：待发送二进制数据左移8位，右端补0，将左移后的数据模2除以除数，算得CRC8的校验码。

发送端和接收端事先约定一个除数，发送端生成CRC校验码，加到左移后的待发送二进制数据上，将加运算后的数据发送给接收端。接收端依次接收二进制数据，首先接收的为多项式高位，最后接收的为二进制低位，按照多项式模2除法将接收到的二进制数据除以事先约定的除数，若求得余数为0则接收成功；否则接收失败。

例如待发送数据101001110100001，除数111010101共9位，将待发送数据左移9位，进行多项式模2除法，运算过程如下：

求得余数为100011000。最后发送端发送的数据为：101001110100001 100011000，后9位为余数。接收端获得二进制数据串后，直接用100011000模2除，可求得余数为0。如果传输过程中某些bit位反转，则接收端用100011000模2除，很大概率余数不为0。

3. 模2运算的特点

假设待发送二进制数据的某个片段为10100111010000100...，除数为111010101。为了方便表述，将待发送数据分为每9位一块，进行模2除法，如下图所示：

对于每块数据的求余，其运算相当于该块异或上述加红二进制串。例如中间块100001000，余数= 该块 ^ 100000000 ^ 010000000 ^ 010101000 ^ 101010100 = 该块^a^b^c^d; 其中a、b、c、d表示这些二进制块；当该块异或所得<除数时开始后一块的异或运算。

例如：中间块100001000异或所得依次为000001000 010001000 000100000 101110100，101110100 < 111010101时开始后一块的运算。

根据异或的结合律，余数= 该块^a^b^c^d = 该块 ^（a^b^c^d）。 a、b、c、d的数值与前一块相关。

CRC查表法原理

现构建一个表格，将每一块所对应的a^b^c^d存储起来。输入一个数据块，查表得到下一块需要异或的数值。例如上例中101001110对应表格内容为100000000 ^ 010000000 ^ 010101000 ^ 101010100，其刚好是101001110的CRC校验码。

某块的余数 = 该块^上一块查表输出。依次向后计算得到最后一块的余数，即为二进制串的CRC校验码。实现伪码为：

crc_table[2^n];
for(i : 2^n)crc_table[i] = i的CRCn校验码;crc = input; //输入1块
whileinput + 1crc = crc_table[crc]^(input);

在计算CRC8时表格需要 $2^{8}$ 项，计算CRC16时表格需要 $2^{16}$ 项，CRC32则需要很大的表格，资源浪费十分严重。对于CRC32运算，仍使用 $2^{8}$ 项的表格，每一项为8位数据对应的CRC32校验码，让输入数据流依次按字节移动并与查表输出值异或即得到CRC32校验码。除表格不同外，其他过程与CRC8运算相似。

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