数值插值

一维插值

YI=interp1(X,Y,XI,METHOD) X、Y为采样点和样本值，XI为表示要插值的点，METHOD默认是线性插值'linear'

METHOD可以取

'nearest'  - 邻近点插值法

'linear'   - 线性插值

'spline'   - 三次样条插值

'pchip'    - 立方插值法

'cubic'    - same as 'pchip'

'v5cubic'  - MATLAB 5版本的cubic

二维插值

ZI = INTERP2(X,Y,Z,XI,YI,METHOD)

'nearest' - 邻近点插值法

'linear'  - 线性插值

'spline'  - 三次样条插值

'cubic'   - 如果数据间隔均匀使用双立方插值，否则使用三次样条插值

例 通过线性插值生成一个粗略的正弦函数图像

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clc

x=0:10;

y=sin(x);

xi=0:0.25:10;

yi=interp1(x,y,xi);

plot(x,y,'o',xi,yi)

例 当Y为数组时，YI的维数为XI的行数×XI的列数×Y的长度

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clc

x=[1:10]';y=[x.^2,x.^3,x.^4];

xi=[1.5 1.75;7.5 7.75];

yi=interp1(x,y,xi);

size(yi)

结果

ans =

2 2 3

例 根据样本数据生成插值并绘制图像

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clc

t = 1900:10:1990;

p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669...

150.697 179.323 203.212 226.505 249.633];

interp1(t,p,1975)

x = 1900:1:2000;

y = interp1(t,p,x,'spline');

plot(t,p,'o',x,y)

例 'cubic' method立方插值法绘制图像

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clc

x = 0:.2:pi; y = sin(x);

pp = interp1(x,y,'cubic','pp'); %得到立方插值法的分段多项式pp，pp.breaks可以看到各段端点值，pp.coefs为每段多项式(三次)系数

xi = 0:.1:pi;

yi = ppval(pp,xi); %根据分段多项式pp计算插值

plot(x,y,'ko'), hold on, plot(xi,yi,'r:'), hold off

曲线拟合

polyfit

P=polyfit(X,Y,N) X、Y为要拟合的数据，N代表N次多项式，返回值P为一个多项式

[P,S]=polyfit(X,Y,N) 除了返回一个多项式P，还返回一个结构体S

S.R:先根据输入的x构建范德蒙矩阵V，然后进行QR分解，得到的上三角矩阵

S.df:df=length(y)-(n+1)。df>0时，为超定方程组的求解，即拟合点数比未知数(p(1)~p (n+1))多

S.normr:残差范数，normr=norm(y-V*p)，此处的p为求解之后的数值。

[P,S,MU]=polyfit(X,Y,N) 除了返回多项式P和结构体S，还返回结构体MU，MU为列向量，存的是X的均值和标准差MU(1)=mean(X),MU(2)=std(X)

例

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clc

x=0:0.1:1;

y=-2*x.^2+0.5

y1=y+(rand(1,length(y))-0.5)/50 %随机数加入偏差

[P,S,MU]=polyfit(x,y1,2)

plot(x,y,'o:',x,polyval(P,x),'r-')