ARIMA-GARCH模型对央行汇率的实证研究（R）

GARCH模型：

$\left\{\begin{array}{c} {x_{t}=f\left(\mathrm{t}, \mathrm{x}_{t-1}, \mathrm{x}_{t-2}, \ldots\right)+\varepsilon_{t}} \\ {\varepsilon_{t}=\sqrt{h_{t}} e_{t}} \\ {h_{t}=\omega+\sum_{i=1}^{p} \eta_{i} h_{t-i}+\sum_{j=1}^{q} \lambda_{j} \varepsilon_{t-j}^{2}} \end{array}\right.$

GARCH模型要求时间序列的残差为零均值、异方差的纯随机序列，但是有时不能充分提取序列的相关信息，即不是纯随机性序列；另外，原序列可能是非平稳序列。对于这种情况，需要将原始序列变为平稳序列，对拟合自回归模型，即构造ARIMA模型，再考察残差序列的方差齐性，如果是异方差残差序列，最后构造GARCH模型，这便是ARIMA-GARCH模型。

时序图：

样本数据有明显的趋势特征，对数据分别进行白噪声检验和单位根平稳性（ADF）检验，样本数据为非平稳非白噪声数据，需要对数据进行差分处理，消除数据的趋势特征，然后对样本数据再作进一步分析。

差分后的时序图：

从时序图中可以看出差分后的样本数据趋势消除，且存在集群效应和不可逆性。

ACF图和PACF图：

对样本数据分别建立ARIMA(0,1,1)模型、ARIMA(1,1,1)模型和ARIMA(1,1,0)模型，从拟合后的AIC来看，ARIMA(1,1,0)模型对差分后的时间序列数据拟合较好。

对拟合后的残差作白噪声检验，残差为白噪声，说明ARIMA(1,1,0)模型已充分提取了时间序列的水平信息。

平稳性检验：

为避免出现伪回归的情况，对ARIMA(1,1,0)模型的残差进行平稳性检验，残差是平稳的。

正态性检验：

分布直方图：

残差呈现尖峰后尾分布且具有不对称性，初步判断残差为非正态分布，但是这只是直观上的判断，需要进一步的检验。

对残差分别进行Shapiro-Wilk检验、Anderson-Darling检验和Kolmogorov-Smirnov检验，可以判断残差不服从正态分布。

ARCH效应检验：

分别进行Portmanteau Q检验和LM检验（拉格朗日乘子检验），LM检验和Q检验都显示残差序列方差非齐性，且残差平方序列具有显著的长期自相关关系。

构造GARCH(1,1)模型：

综合水平模型和波动模型，完整的ARIMA-GARCH模型为：

$\left\{\begin{array}{c} {\nabla x_{t}=0.5235 \nabla x_{t-1}+\varepsilon_{t}+v_{t}} \\ {v_{t}=\sqrt{h_{t} e_{t}}} \\ {h_{t}=3.17 \times 10^{-5}+0.2043 h_{t-1}+0.7564 v_{t-1}^{2}} \end{array}\right.$

对模型的参数进行正态性检验，画出QQ图，残差服从正态分布。

模型预测：

根据ARIMA(1,1,0)模型对未来时间序列的预测：

根据GARCH(1,1)模型对时间序列的拟合，置信区间为95%：

R语言代码：

library(TSA)
library(tseries)
library(fUnitRoots)
library(locfit)
library(forecast)
library(nortest)
library(stats19)
library(FinTS)
library(zoo)##读取文件
Time<-read.table("E:/时间序列论文/外汇.csv",sep=",",header=T)##时序图
rate<-ts(Time$rate,start=c(2005,11),end=c(2019,11),frequency=12)
plot(rate)##ADF检验
for(i in 1:3) print(adfTest(rate,lag=i,type="c"))##白噪声检验
for(i in 1:2) print(Box.test(rate,lag=6*i))##差分
rate_diff<-diff(rate)
plot(rate_diff)##ACF图和PACF图
acf(rate_diff)
pacf(rate_diff)##ARIMA(0,1,1)
rate.fit1<-arima(rate,order=c(0,1,1))
rate.fit1##ARIMA(1,1,1)
rate.fit2<-arima(rate,order=c(1,1,1))
rate.fit2## ARIMA(1,1,0)
rate.fit3<-arima(rate,order=c(1,1,0))
rate.fit3##白噪声检验
for(i in 1:6) print(Box.test(rate.fit3$residual,type="Ljung-Box",lag=i))##预测
rate.fore3<-forecast(rate,model=rate.fit3)
plot(rate.fore3)##平稳性检验
for(i in 1:3) print(adfTest(rate.fit3$residual,lag=i,type="c"))
hist(rate.fit3$residual)##正态性检验
shapiro.test(rate.fit3$residual)
ad.test(rate.fit3$residual)
ks.test(rate.fit3$residual,pnorm)##ARCH效应检验
for(i in 1:6)print(Box.test(rate.fit3$residual^2,type="Ljung-Box",lag=i))
for(i in 1:5)print(ArchTest(rate.fit3$residual,lag=i))##GARCH模型
rate.fit<-garch(rate.fit3$residual,order=c(1,1))
summary(rate.fit)##置信区间
rate.pred<-predict(rate.fit)
plot(rate.pred)##QQ图
qqnorm(rate.fit$residual)
qqline(rate.fit$residual)

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