一文搞懂位运算异或（Java实现）

提起异或想必很多小伙伴们既熟悉又陌生，熟悉是因为好像在离散数学或者学某个编程语言

时听过这个东西，而陌生呢，则是因为自己平时并没有用过，以至于当在某个场景（我猜是在看

题解或者某篇博客时）看到这个名词的时候很懵逼，因此才会幸运地看到这里，那么请继续往下

看吧。

一. 什么是异或呢？

二. 异或有哪些运算法则呢？(不用背，下面会有例子帮助理解)

三.计算机底层是怎么进行异或运算的呢？

四.异或有什么妙用？

1. 我们来看一道leetcode上的题目

2. 两个数字交换

3. 两个数字判等

4. 加密

5. 备份

五.最后的话

一. 什么是异或呢？

异或是位运算的一种，属于逻辑运算符，是一种二进制运算。在计算机中用符号XOR 或 ^ 来

表示，数学中则用 ⊕ 表示。

众所周知，程序中的所有数据在计算机内存中都是以二进制的形式存储的。因此异或直接处

理的是二进制数字 0 和 1 。异或最基础的运算法则为: 0 ⊕ 0 = 0，1 ⊕ 0 = 1，0 ⊕ 1 = 1 ，1 ⊕ 1 =

0 一句话简单概括就是 相同为 0 ，不同为 1 。

二. 异或有哪些运算法则呢？(不用背，下面会有例子帮助理解)

1. 归零律： a ⊕ a = 0

2. 恒等律： a ⊕ 0 = a

3. 交换律： a ⊕ b = b ⊕ a

4. 结合律： a ⊕ b ⊕ c = a ⊕ ( b ⊕ c ) = ( a ⊕ b ) ⊕ c

5. 自反： a ⊕ b ⊕ a = b

6. d = a ⊕ b ⊕ c 可以推出 a = d ⊕ b ⊕ c.

三.计算机底层是怎么进行异或运算的呢？

现在有三个数字 a b c 其对应的十进制和二进制已经给出

a = 10= 1010 b = 8 = 1000 c = 12 = 1100

我们已经知道计算机内存中以二进制存储数据，因此在进行异或运算时，计算机先把十进制

数字转换为二进制数字再进行相应的运算。如下面的几个例子，计算机一位一位地进行异或运算

（相同为0，不同为1），之后将每一位计算得到的结果合在一起，即是最终结果。

        a ⊕ a =     1 0 1 0
         ⊕ 1 0 1 0
         = 0 0 0 0

        a ⊕ 0 =     1 0 1 0
           ⊕ 0 0 0 0
         = 1 0 1 0

        a ⊕ b =     1 0 1 0
         ⊕ 1 0 0 0
         = 0 0 1 0

        a ⊕ b ⊕ c = 1 0 1 0
         1 0 0 0
         ⊕ 1 1 0 0
         = 1 1 1 0

        a ⊕ b ⊕ a =      1 0 1 0
        1 0 0 0
        ⊕ 1 0 1 0
        = 1 0 0 0

四.异或有什么妙用？

1. 我们来看一道leetcode上的题目

第136题只出现一次的数字https://leetcode.cn/problems/single-number/

这道题是要我们找出来数组中只出现一次的数字

注意要求：时间复杂度O(n) 空间复杂度O(1)

1.1 哈希表（时间复杂度O(n) 空间复杂度O(n) ）

我看到这个题的第一思路就是用哈希表。这是这种题目通用的解法，利用哈希表的特性很容

易区分重复的和不重复的。

但是此时，时间复杂度O(n) 空间复杂度O(n) 并不满足题目要求

class Solution {public int singleNumber(int[] nums) {HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();for (int i = 0; i < nums.length; i++) {//获取当前数组中的数字在哈希表中的个数  如果没有则返回nullInteger integer = map.get(nums[i]);if (integer == null)//当前哈希表中没有该数字map.put(nums[i], 1);//加入哈希表中，数量 = 1elsemap.put(nums[i], integer + 1);//当前哈希表中已存在该数字，数量+1}Set<Integer> integers = map.keySet();for (Integer integer : integers) {//获取当前哈希表中各个数字的个数  个数为 1 的话即为所求。if (map.get(integer) == 1)return integer;}return -1;}
}

1.2 暴力双重循环（时间复杂度O(n2) 空间复杂度O(1) ）

然后就想到暴力的方式了，但是要用到两重循环，这个时候的时间复杂度就是 O(n2) 了，也

不满足要求。

此处代码省略

1.3 快排（时间复杂度O(nlogn) 空间复杂度O(1) ）

去看题解发现还可以先排序，然后再遍历找第 i 个数字和第 i + 1 个数字不相同的，当然此处

遍历的时候就是 i = i + 2 而不是 i++ 了，但是排序算法中没有时间复杂度是O(n) 的，即便是快速

排序，其时间复杂度也是O(nlogn) ，因此也解决不了问题

        for(int i=0;i<nums.length;i+=2){//}

1.4 异或（时间复杂度O(n) 空间复杂度O(1) ）

用异或来解决这个问题就很美妙了。

class Solution {public int singleNumber(int[] nums) {int ans = nums[0];if (nums.length > 1) {for (int i = 1; i < nums.length; i++) {//循环结束后ans 就等于数组中所有元素异或后的结果ans = ans ^ nums[i];}}return ans;}
}

我们能够看到用异或来处理这个问题效率尤其的高。不需要像哈希表那样占用额外的空间，

也不用双重循环。真是优雅之极。

可能有的小伙伴不理解为什么要用异或解决这个问题，异或是怎么解决这个问题的。下面我

们就来好好说说异或处理这样的问题的美妙之处。

首先由前面我们已经知道，异或处理两个相同的数据时，得到的结果为0，而且异或的顺序是

可以交换的，交换并不会影响异或的最终结果，所以数组中所有元素异或之后，交换元素顺序，两

两相同的结合进行异或，通过异或运算我们会知道每两个相同的数字异或之后的结果为0，而多组0

之间异或后最后还剩一个0，然后就剩下那个只出现一次的数字和0之间进行异或，而由前面我们知

道任何数字和0异或结果为该数字，自此我们得到了所求结果，整个过程只需要一次循环去求数组

中所有元素之间的异或即可，优雅不优雅，美妙不美妙。

以上仅为证明这个方法可以得到最终结果，计算机会按照先后顺序依次进行异或。

下面是也是个关于异或的题目，有余力的可以尝试用异或做做看，很有意思的。第260题只出现一次的数字Ⅲhttps://leetcode.cn/problems/single-number-iii/

2. 两个数字交换

通常，我们引用一个变量去交换，但这会浪费一个空间。而如果通过异或的话就不需要占用

一个空间。

        int a = 30;int b = 23;if (a > b) {a = a ^ b;b = a ^ b;a = a ^ b;}

3. 两个数字判等

我们已经知道当两个数字相等时，异或结果为0；因此我们可以利用这个特性去判等，效率更

高哦！

    a^b==0//与a==b一个意思

4. 加密

在这里我们要拓展一下下面这个运算法则

①d = a ⊕ b ⊕ c 可以推出 ②a = d ⊕ b ⊕ c.

我们已经知道由 ① 可以推出 ② ，其实还可以推出 a ⊕ b = c ⊕ d

此外，由 ① 推出 ② 我们可以知道当我们得到其中的任意三个都可以推出另外一个

同理，在 c = a ⊕ b 中我们也可以由其中的任意两个来推出另外一个

这就引出了我们这里的内容，加密信息。

在密文a 、密匙b 、明文c三者之间我们也可以利用异或来实现信息的加密。

发送方可以通过密文异或密匙,来得到一篇明文发送给接收方，即 a ^ b = c 。

而接收方则可以通过密匙和明文异或获得密文，即 b ^ c = a

由此，我们就实现了信息的加密。

5. 备份

同样的，利用上面推出的结论，我们也可以备份文件，那么怎么备份呢？让我们好好想想，

上面说到当我们得到三者中的任意两者就可以得到另外一个。那么我们是不是也可以设计一种类似

与密匙的东西，通过他的处理，我们将需要备份的文件与密匙异或得到一个恢复包。这样在原始文

件丢失的情况下，我们就可以通过密匙与恢复包异或得到丢失的文件。

五.最后的话

第一次写博客，个别地方还不够完善，也参考了部分别人写的博客里的内容，如有什么错误

的地方，希望大家可以批评指正，也希望大家可以补充更多相关的内容，让我们共同进步，一起加

油吧！

参考如下：

https://blog.csdn.net/qq_19272431/article/details/78564391

https://blog.csdn.net/cuixianlong/article/details/90064348

https://zhuanlan.zhihu.com/p/453673815