何为四元数？讲解四元数的文章往往会把四元数跟复数联系在一起。诚然，四元数的起源跟复数有关系，但是理解复数系统并不是理解四元数的首要条件。

提到四元数，我们首先要提到一个人——莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），根据欧拉旋转定理（wiki），在三维空间里，假设一个刚体在做一个位移的时候，刚体内部至少有一点固定不动，则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。还有另外一种阐述：3D中的任意角位移都能表示为绕单一轴的单一旋转。如图所示：

所谓角位移也就是旋转，我们通常用欧拉角表示，这也是最容易理解的一种形式。

那么轴-角形式跟四元数有什么关系？它们并不等同，但是却也密不可分。

上图的四元数表示法：

q=[cos(θ/2) sin(θ/2)e]

注意这里e是图中的向量，即

q=[cos(θ/2) sin(θ/2)ex sin(θ/2)ey sin(θ/2)ez]

那么接着我们就要讨论四元数跟复数的关系了，首先先把William Hamilton这个四元数的发明者提出来，免得大家觉得没意思跳过了这段。

首先，什么是复数？

我们知道在实数范围里，对负数开方是没有意义的。但是偏偏有人愿意做“没有意义”（注意这里是引号）的事情，于是定义了虚数i，i的平方等于-1。

那么当实数和虚数加在一起，便成为了复数。

a+bi

其中a被称为实部，b被成为虚部。

因为有实部和虚部，所以我们可以认为在复数集存在于一个2D平面（复数平面，又称高斯平面）上，两个轴分别为实轴和虚轴，这样x+yi就可以视作一个2D的点P为(x,y)。

当P绕原点旋转角度θ时

我们可以用另外一个复数来表示这个旋转：

q=cosθ+isinθ

旋转后的点

p1=pq=(x+yi)(cosθ+isinθ)=(xcosθ-ysinθ)+(xsinθ+ycosθ)i

因为i的平方为-1，所以复数为我们提供了一个有趣的旋转的表示法。（我们可以将这里的q理解为“2D平面上的四元数”，但其实他们之间还是有区别的）

然后我们的主角终于登场了，爱尔兰数学家William Hamilton多年来一直致力于寻找一种方法将复数从2D扩展到3D。他认为，这种新的复数应该有一个实部和两个虚部。然而，Hamilton一直没有办法创造出一种有两个虚部的有意义的复数。但故事并没有结束，1843年，在赴皇家爱尔兰学院演讲的路上，他突然意识到应该有三个虚部而不是两个。他把定义这种新复数类型性质的等式刻在Broome桥上。这样，四元数就诞生了。（本段抄自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

四元数扩展了复数系统，它使用三个虚部i，j，k。它们的关系如下：

ii=jj=kk=-1

ij=k,ji=-k

jk=i,kj=-i

ki=j,ik=-j

一个四元数[w, x, y, z]定义了复数w+xi+yj+zk。

具体四元数的一些公式，我们有缘再讲，只是有一个必须要提一下，这也是2D和3D上的区别。

定义三维上的点(x,y,z)在四元数空间上的坐标p=[0,x,y,z]，那么如何让这个点绕轴e旋转θ？我们设绕轴e旋转θ对应的四元数为q，那么旋转后的点为：

p1=qpq-1

其中q-1为q的逆（等于q的共轭复数除以q的模，[w,x,y,z]的共轭为[w,-x,-y,-z]，模的定义与向量模类似，为各项平方和的开方）。

（Unity3D里我们可以直接用四元数Quaternion乘以向量Vector3，得到旋转后的点）

最后提一句，四元数可以解决欧拉角的万向锁问题和别名问题（所以U3D里使用Quaternion来保存旋转）。

土圭垚㙓数学课（三）四元数相关推荐

土圭垚㙓数学课（四）空间变换
我曾经在Shader山下(十六)坐标空间与转换矩阵中介绍过,一个物体要显示在平面上,需要经过四步空间变换(实际上是五步): 物体空间->世界空间->观察空间->裁剪空间(->归 ...
土圭垚㙓数学课（一）万向锁（Gimbal Lock）
何为万向锁,我们先抛弃掉那些理论,直接举个栗子. 以你自身为对象. 首先,原地旋转为第一个维度,也就是heading. 其次,正翻跟头为第二个维度,也就是pitch. 然后,侧翻跟头为第三个维度,也就 ...
土圭垚㙓数学课（二）视锥体八个顶点的计算方法
视锥体是摄像机可见的空间,看上去像截掉顶部的金字塔.视锥体由6个裁剪面围成,构成视锥体的4个侧面称为上左下右面,分别对应屏幕的四个边界.为了防止物体离摄像机过近,设置近切面,同时为了防止物体离摄像机太 ...
Shader山下（十六）坐标空间与转换矩阵
模型空间(model space)也称为对象空间(object space)或局部空间(local space)是指以模型原点为原点的坐标系. 世界空间(world space)也称全局空间(glob ...
Unity Shader中内置的坐标空间与转换矩阵函数
模型空间(model space)也称为对象空间(object space)或局部空间(local space)是指以模型原点为原点的坐标系. 世界空间(world space)也称全局空间(glob ...
【搞定工作】无惧尾款，打工就要来这里！
各位打工人.尾款人,你们的钱包都还好吗?被双十一掏空余额的小伙伴们,来呀,来和小誉一起吃土呀~ 付两次尾款,收两波快递,最后吃双份的土,"吃圭人"就这样华丽又心酸的诞生了. 不过大 ...
又双叒叕 - 中国汉字的奇妙
四个字组成的汉字: 又双叒叕[zhuo] 屮艸芔茻[mǎng] 火炎焱燚[yi] 一二三亖[si] 土圭垚㙓[dui] 口吕品田[tian] 水沝淼㵘[man] 日昌晶[liu] 木林森[gua] 月 ...
写带有代码博客的小技巧
又双叒叕大家都知道是什么意思吗?知道怎么读吗?它们其实是一个网络流行用语,通常读作"yòu,shuāng,ruò,zhuó".表示某事物变化更替相当频繁,也表示一件事反复出现. 还 ...
三个字的字，值得收藏
三个金念鑫(xīn) 三个水念淼(miǎo) 三个火念焱(yàn) 三个土念垚(yáo) 三个牛念犇(bēn) 三个手念掱(pá) 三个目念瞐(mò ...

土圭垚㙓数学课（三）四元数

何为四元数？讲解四元数的文章往往会把四元数跟复数联系在一起。诚然，四元数的起源跟复数有关系，但是理解复数系统并不是理解四元数的首要条件。

土圭垚㙓数学课（三）四元数相关推荐

最新文章

热门文章