【详解】为何三元一次方程可以表示一个平面
首先如何确定一个平面?
1 知道平面的倾向角(比如知道一个平面与某个向量垂直)
2 知道整个平面过某个点
这样整个平面就被确定下来。
当 Ax+By+Cz=0
对于这个方程来说,也就是向量(A,B,C)与(x,y,z)垂直。
(x,y,z)可以表示空间中某个点,那么,假设有个平面,与(A,B,C)垂直,
这个平面恰好经过了点(x y z). 那么这个平面及与(A,B,C)垂直,且经过了一个点。
说明这个平面被确定下来
反过来说,这个平面上的所有的点,构成的平面与(A,B,C)垂直。
给出图片进行进一步说明:
假设 向量(A,B,C)就是Z轴,(x,y,z)这个点就在X轴和Y轴构成的平面上。
那么在这个平面上的所有的点构成的向量(单点构成向量,另一个点就是原点)都与(A,B,C)
垂直。
进一步分析,如果(A,B,C)就是Z轴,那说明A和B就是0。且C不是0, 那
Ax+By+Cz=0 就是,Cz = 0;(所以xy没有任何的限制)
由于Cz = 0; 而C不为0,所以z必须为零。此时x,y又没有任何的限制。那这个平面在哪,就不言而喻了。
所以,只要ABC定下来,xyz的关系就定下来了,那么这个平面就定下来了。所以说,三元一次方程可以表示一个平面。
当Ax+By+Cz=D,分解一下就可以变成,A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
也就是向量(A,B,C)与(x-x0, y-y0, z-z0)垂直。
证明过程和上方一致。
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