分糖问题和插板法：10个相同糖果分给3个小朋友，有几种分法？

【1】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少一个，有多少种不同的分法？

【2】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，有多少种不同的分法？

【3】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少2个，有多少种不同的分法？

【4】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，A至少一个，B至少2个，C可以没有，有多少种不同的分法？

【答案】

【1】第一题是最为典型的插板法的题目。10个糖果排成一排，共形成9个空，我从这9个空里选两个，插入隔板，便把这10个糖果分成了三份，每份起码有一个，这样的话，方法数就是C（9，2）=36。

【2】、与第一题不同，这里没有限制孩子获得的数量，意味着有些孩子可以分到0个。那么这时候就不能直接用插板法了，必须转化成每个孩子至少得到1个。怎么转化呢？

很简单，分这10个糖果之前就给每个小朋友1个糖果，这样就保证分的时候每个小朋友至少分一个了，就可以用插板法了，只不过这时的题就变成了“10+3=13个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少一个，有多少种不同的分法？”.

13个糖果12个空，分成三组插两块板，方法数就是C（12，2）=66。

【3】.不能直接插板，需要先将至少2个转化成至少1个，咋转化？先给每人1个，剩下的至少每人一个就搞定啦！题目变为“10-1×3=7个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少一个，有多少种不同的分法？”

7个糖果6个空，分成三组插两块板，方法数就是C（6，2）=15。

【4】此题综合了这几类题型，还是转化：A满足不用管；B至少2个，需要先分掉1个；C可以不分，那就借一个给他。 10-1+1=10，题目变成第一小题了，答案还是36.

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