Laplace算子和Laplacian矩陣
1 Laplace算子的物理意義
Laplace算子的定義為梯度的散度。
在Cartesian坐標系下也可表示為:
或者,它是Hessian矩陣的跡:
以熱傳導方程為例,因為熱流與溫度的梯度成正比,那麼溫度的梯度的散度就是熱量的損失率。
由此可見,Laplace算子可用於表現由於物質分佈不均引起的物質輸送。
2 Laplace算子的數學意義
現在,在一維空間中簡單分析上面的式子:
也可以寫作:
把分子第一項和第二項分別按泰勒展開:
可以看出Laplace算子實際上是一個使函數取平均的算子。多維空間相似。
3 Laplace方程
若Laplace算子右邊為零,稱為Laplace方程。Laplace方程的解稱為調和函數。若右邊是一個函數,稱為泊松方程。
4 Laplace算子在圖像處理的運用
圖像處理是以像素作為基礎離散化,如下:
5 Laplacian 矩陣
是一種用于表示圖的矩陣。 它的維度是 |V|-by-|V| ( |V| 是節點的數目 )。 James Demmel提供了一種由Incidence matrix轉化為Laplacian矩陣的方法。
In(G)是一個 |V|-by-|E| 矩陣( |E| 是邊的數目 ), 設邊e=(i,j),這一列除了第i行(為+1)和第j行(為-1)外都為零。 需要说明的是,根据这个定义,对于无向图 e=(i,j) 和 e=(j,i) 是等价的, 看似会生成很多不同的In图(根据每条边不同的取向)。但是实际上可以证明,无论边的方向怎么取,由In图生成的L图都是唯一的。 也就是说, e=(i,j) 和 e=(j,i) 怎么取是无关紧要的。 如何使用In图生成L图:
可得知Laplacian矩陣的两个重要性质:一是为对称阵。二是存在一个为零的特征值(秩为|V|-1)。三是一個半正定矩陣。 注意Laplace算子是负定的。
在求解含Laplacian矩陣的方程組時,常常要求為正定矩陣。觀察發現這是因為Laplacian矩陣每列相加等于零。這時只需要手動更改第一行和第一列(比如第一個元素設為1,其余設為零),破壞其結構,令秩等于|V|就可以了。
对于非正定矩阵,左乘个transpose of the matrix, 推导如下:
Ax – b = 0
最小化 ||Ax – b||^2,展開后對x求導數:
可轉化為正定方程組。
6 Laplace算子和Laplacian矩陣的關系
Laplace算子可以推廣到多維情況計算。Laplacian矩陣主要用于三維以下的圖形學計算,可以表現復雜的幾何結構。而Lapace方程使用了Laplace算子來表示Laplacian矩陣。
參考文獻:
丘成桐,幾何三十載,香港中文大學
James Demmel, related lectures, University of California, Berkeley
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