标准化互信息NMI计算步骤及其Python实现

Excellence is a continuous process and not an accident.

卓越是一个持续的过程而不是一个偶然事件。

原文地址：https://dreamhomes.github.io/posts/202005120940.html

标准化互信息NMI计算步骤及其Python实现

假设对于17个样本点(v1,v2,...,v17)(v_1,v_2,...,v_{17})(v1,v2,...,v17)进行聚类：

某一种算法得到聚类结果为：

A=[1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 3 3 3]

标准的聚类结果为：

B=[1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3]

问题：需要度量算法结果与标准结果之间的相似度，如果结果越相似NMI值应接近1；如果算法结果很差则NMI值接近0。

根据公式计算MI的值其中X=unique(A)=[1 2 3] , Y=unique(B)=[1 2 3]：

MI(X,Y)=∑i=1∣X∣∑j=1∣Y∣P(i,j)log(P(i,j)P(i)P′(j))MI(X,Y)=\sum_{i=1}^{|X|}\sum_{j=1}^{|Y|}P(i,j)log(\frac{P(i,j)}{P(i)P^{'}(j)})MI(X,Y)=i=1∑∣X∣j=1∑∣Y∣P(i,j)log(P(i)P′(j)P(i,j))

首先计算上式分子中联合概率分布P(i,j)=∣Xi∩Yj∣NP(i,j)=\frac{|X_i\cap Y_j|}{N}P(i,j)=N∣Xi∩Yj∣

P(1,1)=5/17,P(1,2)=1/17,P(1,3)=2/17P(1,1)=5/17,P(1,2)=1/17,P(1,3)=2/17P(1,1)=5/17,P(1,2)=1/17,P(1,3)=2/17

P(2,1)=1/17,P(2,2)=4/17,P(2,3)=0P(2,1)=1/17,P(2,2)=4/17,P(2,3)=0P(2,1)=1/17,P(2,2)=4/17,P(2,3)=0

P(3,1)=0,P(3,2)=1/17,P(3,3)=3/17P(3,1)=0,P(3,2)=1/17,P(3,3)=3/17P(3,1)=0,P(3,2)=1/17,P(3,3)=3/17

再计算分母中概率函数P(i)=Xi/NP(i)=X_i/NP(i)=Xi/N，P(i)P(i)P(i)为iii的概率分布函数，P′(j)P^{'}(j)P′(j)为jjj的概率分布函数：

对于P(i)P(i)P(i)：

P(1)=8/17,P(2)=5/17,p(3)=4/17P(1)=8/17,P(2)=5/17,p(3)=4/17P(1)=8/17,P(2)=5/17,p(3)=4/17

对于P(j)P(j)P(j)：

P′(1)=6/17,P′(2)=6/17,P′(3)=5/17P^{'}(1)=6/17,P^{'}(2)=6/17,P^{'}(3)=5/17P′(1)=6/17,P′(2)=6/17,P′(3)=5/17

根据以上计算可以计算出MI的值。

至于标准化互信息使用第二个公式计算：

NMI(X,Y)=2MI(X,Y)H(X)+H(Y)NMI(X,Y)=\frac{2MI(X,Y)}{H(X)+H(Y)}NMI(X,Y)=H(X)+H(Y)2MI(X,Y)

上式分母中H(X),H(Y)H(X),H(Y)H(X),H(Y)分别为X,YX,YX,Y的熵：

H(X)=−∑i=1∣X∣P(i)log(P(i));H(Y)=−∑j=1∣Y∣P′(j)log(P′(j))H(X)=-\sum_{i=1}^{|X|}P(i)log(P(i));H(Y)=-\sum_{j=1}^{|Y|}P^{'}(j)log(P^{'}(j))H(X)=−i=1∑∣X∣P(i)log(P(i));H(Y)=−j=1∑∣Y∣P′(j)log(P′(j))

对于上面的例子，根据公式计算熵如下：

H(X)=P(1)log2(P(1))+P(2)log2(P(2))+P(3)log2(P(3))H(X)=P(1)log_2(P(1))+P(2)log_2(P(2))+P(3)log_2(P(3))H(X)=P(1)log2(P(1))+P(2)log2(P(2))+P(3)log2(P(3))

H(Y)=P′(1)log2(P′(1))+P′(2)log2(P′(2))+P′(3)log2(P′(3))H(Y)=P^{'}(1)log_2(P^{'}(1))+P^{'}(2)log_2(P^{'}(2))+P^{'}(3)log_2(P^{'}(3))H(Y)=P′(1)log2(P′(1))+P′(2)log2(P′(2))+P′(3)log2(P′(3))

综上则可以计算出NMI的值。

代码实现以上计算过程：

可以直接调用scikit-learn包中集成的度量函数
自己编写函数实现计算过程

Python代码实现如下(包含上述两种方式)：

# -*- coding:utf-8 -*-
'''
Created on 2017年10月28日@summary: 利用Python实现NMI计算@author: dreamhome
'''
import math
import numpy as np
from sklearn import metrics
def NMI(A,B):#样本点数total = len(A)A_ids = set(A)B_ids = set(B)#互信息计算MI = 0eps = 1.4e-45for idA in A_ids:for idB in B_ids:idAOccur = np.where(A==idA)idBOccur = np.where(B==idB)idABOccur = np.intersect1d(idAOccur,idBOccur)px = 1.0*len(idAOccur[0])/totalpy = 1.0*len(idBOccur[0])/totalpxy = 1.0*len(idABOccur)/totalMI = MI + pxy*math.log(pxy/(px*py)+eps,2)# 标准化互信息Hx = 0for idA in A_ids:idAOccurCount = 1.0*len(np.where(A==idA)[0])Hx = Hx - (idAOccurCount/total)*math.log(idAOccurCount/total+eps,2)Hy = 0for idB in B_ids:idBOccurCount = 1.0*len(np.where(B==idB)[0])Hy = Hy - (idBOccurCount/total)*math.log(idBOccurCount/total+eps,2)MIhat = 2.0*MI/(Hx+Hy)return MIhatif __name__ == '__main__':A = np.array([1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3])B = np.array([1,2,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,1,1,3,3,3])print NMI(A,B)print metrics.normalized_mutual_info_score(A,B)

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