POJ1741 Tree 树中点对统计【树分治入门】

算法合集之《分治算法在树的路径问题中的应用》
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树被定义为没有圈的连通图，有几个性质

在树中去掉一条边后，得到的图是不连通的
在树中添加一条边后，一定存在一条边
树的每一对顶点U和V之间有且只有一条路径

分治

分而治之，将一个问题分割成一些规模较小的相互独立的子问题 ,通常在一个线性结构上分治，分至算法在树结构上的应用称为树分治算法

基于点的分治
首先，选取一个点将无根树转化为有根树，再递归处理以根节点的儿子为根的子树
我们选取一个点，要求将其删除后，节点最多的树的节点个数最小，这个点被称为 树的重心 .
可以用树上的动态规划解决，时间复杂度为O(n),n为树的节点总数

基于边的分治
在树中选取一条边，将原树分为两棵不相交的树，递归处理
选取的边要满足所分离出来的两棵子树的节点个数尽量平均，这条边称为 中心边。
可以用树上的动态规划解决，时间复杂度为O(n),n为树的节点总数

定理1
存在一个点使得分出的子树的节点个数均不大于 N/2

定理2
如果一棵树中，每个点的度均不大于D，那么存在一条边使得分出两棵子树的节点个数在 [N/(D+1),N*(D+1)],(N>=2)

POJ1741

题意
给定一个N个节点的带权树，定义dist(u,v)为u，v两点之间的最短路径长度，路径长度定义为路径上所有边的权和。对于两个不同的点a，b，如果满足dist(a,b)<=k,称为合法点对，求合法点对的个数

#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<climits>
using namespace std;
const int maxn=1e4+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int n,k,allnode;
int head[maxn*2];
int num;
int dp[maxn];
int size[maxn];
int Focus,M;
ll dist[maxn];
int deep[maxn];
bool vis[maxn];
ll ans;
struct Edge
{int u,v,w,next;
}edge[maxn<<2];
void addEdge(int u,int v,int w)
{edge[num].u=u;edge[num].v=v;edge[num].w=w;edge[num].next=head[u];head[u]=num++;
}
void init()
{memset(head,-1,sizeof(head));memset(dist,0,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));num=0;
}
void getFocus(int u,int pre)
{size[u]=1;dp[u]=0;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(v==pre||vis[v]) continue;getFocus(v,u);size[u]+=size[v];dp[u]=max(dp[u],size[v]);}dp[u]=max(dp[u],allnode-size[u]);if(M>dp[u]){M=dp[u];Focus=u;}
}
void dfs(int u,int pre)
{deep[++deep[0]]=dist[u];for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v,w=edge[i].w;if(v==pre||vis[v]) continue;dist[v]=dist[u]+w;dfs(v,u);}
}
int cal(int x,int now)
{dist[x]=now,deep[0]=0;dfs(x,0);sort(deep+1,deep+deep[0]+1);int ans=0;for(int l=1,r=deep[0];l<r;){if(deep[l]+deep[r]<=k){ans+=r-l;l++;}else r--;}return ans;
}
void solve(int x)
{vis[x]=1;ans+=cal(x,0);for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(vis[v]) continue;ans-=cal(v,edge[i].w);allnode=size[v];Focus=0,M=1e9;getFocus(v,x);solve(Focus);}
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifwhile(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF&&(n+k)){init();for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);addEdge(u,v,w);addEdge(v,u,w);}Focus=ans=0;allnode=n,M=1e9;getFocus(1,0);solve(Focus);printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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题意

这道题和POJ1741非常类似，这里只不过多了一步转化，要处理3的倍数，在建图和统计的时候都进行模3操作，这样最后两个点之间的距离只可能是0，1，2，然后就可以用他们组合为3的倍数，首先0和0组合，1和2组合，2和1组合【题中（1，2）和（2，1）不同】分子可以由树分治求出来，分母必然是N*N

#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<climits>
using namespace std;
const int maxn=2e4+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int n,k,allnode;
int head[maxn*2];
int num;
int dp[maxn];
int size[maxn];
int Focus,M;
ll dist[maxn];
int deep[maxn];
bool vis[maxn];
int ans;
int cnt[4];
struct Edge
{int u,v,w,next;
}edge[maxn<<2];
void addEdge(int u,int v,int w)
{edge[num].u=u;edge[num].v=v;edge[num].w=w;edge[num].next=head[u];head[u]=num++;
}
void init()
{memset(head,-1,sizeof(head));memset(dist,0,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));num=0;
}
void getFocus(int u,int pre)
{size[u]=1;dp[u]=0;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(v==pre||vis[v]) continue;getFocus(v,u);size[u]+=size[v];dp[u]=max(dp[u],size[v]);}dp[u]=max(dp[u],allnode-size[u]);if(M>dp[u]){M=dp[u];Focus=u;}
}
void dfs(int u,int pre)
{cnt[deep[u]]++;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(v==pre||vis[v]) continue;deep[v]=(deep[u]+edge[i].w)%3;dfs(v,u);}
}
int cal(int x,int now)
{deep[x]=now;cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0;dfs(x,0);return cnt[1]*cnt[2]*2+cnt[0]*cnt[0];
}
void solve(int x)
{ans+=cal(x,0);vis[x]=1;for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(vis[v]) continue;ans-=cal(v,edge[i].w);allnode=size[v],M=1e9,Focus=0;getFocus(v,x);solve(Focus);}
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifscanf("%d",&n);init();for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);addEdge(u,v,w%3);addEdge(v,u,w%3);}allnode=n,Focus=0,M=1e9;getFocus(1,0);solve(Focus);int t=__gcd(ans,n*n);printf("%d/%d\n",ans/t,n*n/t);return 0;
}

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