设计一个名为complex的类来表示复数

蜂窝通信系统中，基站和用户通过使用多天线来提升系统性能。根据天线理论，发送天线工作时辐射电磁场，而接收天线捕获空间中的电磁场，并解调其所承载的比特信号。无线通信理论研究者通常将电磁波在空间的传播抽象成数学的信道模型，如我另一篇文章中

mmdong2：无线信道的数学定义zhuanlan.zhihu.com

提到的无线信道的数学定义。虽然这种模型抽象使无线通信研究者可以不用学习电磁场的基础理论，但也因为电磁理论的缺失，对天线波束设计de的论理解不够深刻。本文将从电磁传播角度，阐述天线波束设计的方法论，其是【Chapter 7, 1】中MIMO信道建模的理论基础。

1. 任意观察点O的电场

如图1-(A)所示，三维空间中，一个uniform linear antenna (ULA)沿着

-轴分布，由

个天线元素组成。一个远场域观察点O，其到第n个天线元素的距离为

。第n个天线元素到远场域观察点O的射线与z坐标轴夹角为

。假设ULA中每个天线元素是相同的

线天线（linear antenna），根据【(4-26a), 2】, 第n个天线元素辐射到远场域观察点O的电场可表示为

其中

为一个固定的参数（

每个参数的物理意义这里不一一介绍，有兴趣的可以阅读【Chapter 4, 2】)。观察点O总的电场是所有天线元素所辐射电磁的累加和，即

，

其中

为波数，

为传输信号的波长。

图1：ULA

2. 远场域观察点O电场的近似表示

远场域指观察点O到每个天线元素的距离足够远，使得可以近似认为观察点O到每个天线元素的距离是平行的，如图1-(B)所示。根据图1-(B)中远场域的近似，因为观察点到每个天线元素的射线是平行的，可知每条射线的离开角度

（elevation）和

(azimuth)相同 (如图1-(B)所示)，即

。

基于此公式(1)可以写成

因为所有天线元素均在x轴上，天线元素所在位置的单位向量为

, 天线元素到远场域观察点O的射线的

单位向量为

。可计算x轴与天线元素到观察点O的射线的夹角的

cos值为

。从图1-(B)可看出，观察点到每个天线元素的射线的距离有如下关系

，即

其中

为两个天线元素之间的距离（根据天线理论，其值一般为

）。基于此，公式（2）可以写成

(3)

其中(b)是因为天线之间的间隔

通常远远小于远场域距离

,使得可以近似

公式(3)即为远场域观察点O的电磁场，不同的观察点有不同的

，因而有不同的电场。

3. 波束设计

从公式(3)可知，观察点O的电场是不同复数的累加。如果这些复数在某个角度

（观察点）相互正向累加，则该点电场变强。如果这些复数在某个角度

（观察点）相互抵消，则该点电场变弱。通过在每个天线元素中引入一个控制变量

,可将公式（3）写成

，

（4）

即可以通过设置

的值，使得公式(4)在期望的角度产生强电场，不期望的角度没有电场。下面我们给出一种简单的设置

的方法。

从图1可知，角度

和

的取值范围分别为

。在这两个角度范围分别去M和K采样点，使得区间可以被划分成等份小区间。如果对于角度采样点（m,k）如果我们希望电磁较强，则可以根据公式（4）设置

=1,

（5）

否则可以设置其值为0以期望的角度（

）没有电场。基于此，我们可以根据期望的波束，预先确定一个向量

，其第(m-1)*K+k个元素对应角度（

）。如果希望角度（

）电场强，则向量

f的第(m-1)*K+k个元素的值为1，如果不希望角度（

）有电场，则向量

f的第(m-1)*K+k个元素的值为0. 根据我们的期望的波束确定向量f后，参照公式（5）可得到以下等式

。（6）

用矩阵

表示公式（6）左边的矩阵，

表示公式（6）左边的向量，即

。通过对该等式求解得到

。

（7）

即通过如公式（7）计算w，并带入公式（4）,可以得到期望的波束。

下图是我用以上原理，使用matlab仿真画出的波束图。有兴趣的可以留言找我源代码。

图2

【1】David Tse, “Fundamentals of Wireless Communications”

【2】Constantine A. Balanis，“ANTENNA THEORY：ANALYSIS AND DESIGN”