频域分析及奈氏判据

频域分析及奈氏判据
- 1. 频域分析
- 2. 幅相频率特性（Nyquist图）
- 3. 对数频率特性（Bode图）
- 4. 频域稳定判据
- 5. 奈氏判据例题
- 6. 再来奈氏判据
- - 0型系统
  - I 型系统或 II 型系统
  - 简化奈奎斯特稳定判据
  - - 1. ω\omegaω 由 000 变化到 +∞+\infty+∞ 时的开环幅相频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω)
    - 2. 采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算
    - 3.半次穿越
    - 4. 型别 ν≥1\nu \ge1ν≥1 系统开环频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω) 曲线的处理

频域分析及奈氏判据

1. 频域分析

幅频特性：幅值之比

相频特性：相角之差

2. 幅相频率特性（Nyquist图）

From: 自动控制原理（西北工业大学卢京潮）-P33

3. 对数频率特性（Bode图）

4. 频域稳定判据

From: 自动控制原理（西北工业大学卢京潮）-P40

From: 自动控制原理（西北工业大学卢京潮）-P42

5. 奈氏判据例题

例题：试根据奈奎斯特判据，判断下表所示曲线对应闭环系统的稳定性，已知曲线（1）～（10）对应的开环传递函数如下：

题号	传函
（1）	G(s)=K(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)G(s) = \frac{K}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)(T_3 s+1)}G(s)=(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)K
（2）	G(s)=Ks(T1s+1)(T2s+1)G(s) = \frac{K}{s(T_1 s+1)(T_2 s+1)}G(s)=s(T1s+1)(T2s+1)K
（3）	G(s)=Ks2(Ts+1)G(s) = \frac{K}{s^2 (T_ s+1)}G(s)=s2(Ts+1)K
（4）	G(s)=K(T1s+1)s2(T2s+1),(T1>T2)G(s) = \frac{K (T_1s+1)}{s^2 (T_2 s+1)},\quad(T_1>T_2)G(s)=s2(T2s+1)K(T1s+1),(T1>T2)
（5）	G(s)=Ks3G(s) = \frac{K}{s^3}G(s)=s3K
（6）	G(s)=K(T1s+1)(T2s+1)s3G(s) = \frac{K(T_1s+1)(T_2s+1)}{s^3}G(s)=s3K(T1s+1)(T2s+1)
（7）	G(s)=K(T5s+1)(T6s+1)s(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)(T4s+1)G(s) = \frac{K(T_5s+1)(T_6s+1)}{s(T_1s+1)(T_2s+1)(T_3s+1)(T_4s+1)}G(s)=s(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)(T4s+1)K(T5s+1)(T6s+1)
（8）	G(s)=KT1s−1(K>1)G(s) = \frac{K}{T_1s-1}\quad(K>1)G(s)=T1s−1K(K>1)
（9）	G(s)=KT1s−1(K<1)G(s) = \frac{K}{T_1s-1}\quad(K<1)G(s)=T1s−1K(K<1)
（10）	G(s)=Ks(Ts−1)G(s) = \frac{K}{s(Ts-1)}G(s)=s(Ts−1)K

答案如下：

题号	传函	PPP	NNN	Z=P−2NZ=P-2NZ=P−2N	闭环稳定性
（1）	G(s)=K(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)G(s) = \frac{K}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)(T_3 s+1)}G(s)=(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)K	0	-1	2	不稳定
（2）	G(s)=Ks(T1s+1)(T2s+1)G(s) = \frac{K}{s(T_1 s+1)(T_2 s+1)}G(s)=s(T1s+1)(T2s+1)K	0	0	0	稳定
（3）	G(s)=Ks2(Ts+1)G(s) = \frac{K}{s^2 (T_ s+1)}G(s)=s2(Ts+1)K
（4）	G(s)=K(T1s+1)s2(T2s+1),(T1>T2)G(s) = \frac{K (T_1s+1)}{s^2 (T_2 s+1)},\quad(T_1>T_2)G(s)=s2(T2s+1)K(T1s+1),(T1>T2)
（5）	G(s)=Ks3G(s) = \frac{K}{s^3}G(s)=s3K
（6）	G(s)=K(T1s+1)(T2s+1)s3G(s) = \frac{K(T_1s+1)(T_2s+1)}{s^3}G(s)=s3K(T1s+1)(T2s+1)
（7）	G(s)=K(T5s+1)(T6s+1)s(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)(T4s+1)G(s) = \frac{K(T_5s+1)(T_6s+1)}{s(T_1s+1)(T_2s+1)(T_3s+1)(T_4s+1)}G(s)=s(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)(T4s+1)K(T5s+1)(T6s+1)
（8）	G(s)=KT1s−1(K>1)G(s) = \frac{K}{T_1s-1}\quad(K>1)G(s)=T1s−1K(K>1)
（9）	G(s)=KT1s−1(K<1)G(s) = \frac{K}{T_1s-1}\quad(K<1)G(s)=T1s−1K(K<1)
（10）	G(s)=Ks(Ts−1)G(s) = \frac{K}{s(Ts-1)}G(s)=s(Ts−1)K

From: 真开心！奈奎斯特稳定判据，我终于掌握了！

6. 再来奈氏判据

系统稳定的充要条件是系统闭环特征根都具有复实部，即都在 sss 复平面的左边平面 (LHP)。

在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方法是使用劳斯-胡尔维茨稳定判据（代数判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常困难且费时，也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。

特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。

除了劳斯判据外，分析系统稳定性的另一个常用判据为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。

奈氏判据的主要特点有：

根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；
能够确定系统的稳定程度（想对稳定性）；
可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析于设计；
基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。

Nyquist判据的主要理论依据是复变函数理论中的Cauch（柯西）幅角定理。

0型系统

系统的开环右极点数为 PPP，在 G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s) 平面上，当 ω\omegaω 从 −∞-\infty−∞ 变化到 +∞+\infty+∞ 时，系统开环频率特性曲线 G(jω)H(jω)G(j\omega)H(j\omega)G(jω)H(jω) 及其镜像，顺时针包围 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点的次数为 NNN 圈 (N>0)(N>0)(N>0)，若逆时针包围则 N<0N<0N<0，封闭曲线绕 (−1,j0(-1,j0(−1,j0 点旋转 360∘360^\circ360∘ 即包围一次，则系统的闭环右极点的个数为 ZZZ，且满足：Z=N+PZ=N+PZ=N+P

当 Z=0Z=0Z=0 时，系统闭环稳定；
当 Z>0Z>0Z>0 时，系统闭环不稳定。

注：系统开环稳定，闭环不一定稳定；开环不稳定，闭环不一定不稳定。

I 型系统或 II 型系统

I 型系统：从正虚轴方向无限远处开始，顺时针绕向负虚轴，以原点为圆心，半径为无限大的右半圆弧。需在 G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s) 平面上补画右半圆弧将奈氏曲线及其镜像连成封闭曲线。

II 型系统：从负实轴方向无限远处开始，顺时针绕一周终止于负实轴方向，以原点为圆心，半径为无限大的圆弧。需在 G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s) 平面上补画整圆将奈氏曲线及其镜像连成封闭曲线。

当系统的开环奈氏图作如上处理后，稳定判据与 0 型系统完全相同。

若系统为最小相位系统，即开环系统稳定时 (P=0)(P=0)(P=0)，系统稳定的充要条件为：当 ω\omegaω 从 −∞-\infty−∞ 变化到 +∞+\infty+∞ 时，在 GHGHGH 平面上的系统开环频率特性曲线及其镜像，不包围 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点，即 N=0N=0N=0，则 Z=N+P=0Z=N+P=0Z=N+P=0，闭环系统稳定；否则不稳定。

当系统开环频率特性曲线及其镜像通过 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点时，表明在 sss 平面虚轴上有闭环极点，系统处于临界稳定状态，属于不稳定。

简化奈奎斯特稳定判据

1. ω\omegaω 由 000 变化到 +∞+\infty+∞ 时的开环幅相频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω)

因为 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞) 与 (0,−∞)(0, -\infty)(0,−∞) 的曲线完全关于实轴对称，则 000 变到 +∞+\infty+∞ 时的开环幅相频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω) 顺时针包围 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点的圈数 N′N'N′ 满足：N′=N/2N' = N/2N′=N/2

已知系统开环右极点个数为 PPP，则系统闭环右极点个数为 ZZZ（不包括虚轴上的极点）：Z=P+2N′Z = P+2N'Z=P+2N′

2. 采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算

ω\omegaω 由 000 变化到 +∞+\infty+∞ 时开环频率特性曲线要形成对 (−1,j0)(-1, j0)(−1,j0) 点的一次包围，势必穿越 (−∞,−1)(-\infty, -1)(−∞,−1) 区间一次。

开环频率特性曲线逆时针穿越 (−∞,−1)(-\infty, -1)(−∞,−1) 区间时，随 ω\omegaω 增加，频率特性的相角值增大，称为一次 正穿越 N+′N'_+N+′。反之，
开环频率特性曲线顺时针穿越 (−∞,−1)(-\infty, -1)(−∞,−1) 区间时，随 ω\omegaω 增加，频率特性的相角值减小，称为一次 负穿越 N−′N'_-N−′。

频率特性曲线包围 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实轴 (−∞,−1)(-\infty, -1)(−∞,−1) 区间的正、负穿越来表达。

ω\omegaω 由 000 变到 +∞+\infty+∞ 时的开环幅相频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω) 对 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点的总包围次数为 N′=(N−′−N+′)N'=(N'_- - N'_+)N′=(N−′−N+′)

利用正负穿越情况的奈奎斯特稳定判据叙述为：Z=P+2(N−′−N+′)Z = P+2(N'_- - N'_+)Z=P+2(N−′−N+′)

注：奈氏曲线在 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点以右负实轴上相位有变化不算穿越。

3.半次穿越

奈氏曲线始于或止于 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点以左负实轴，称为一个半次穿越。

例题：某系统开环传递函数如下，试判断闭环系统的稳定性。G(s)H(s)=−3s+1G(s)H(s) = \frac{-3}{s+1}G(s)H(s)=s+1−3

答：由于曲线始于 (−3,j0)(-3,j0)(−3,j0) 点，故顺时针包围 (−1,j0)(-1, j0)(−1,j0) 点的次数为 1/2，N−′=12N'_- =\frac{1}{2}N−′=21。由于开环右极点数为 P=0P=0P=0，故 Z=P+2(N−′−N+′)=0+2(12−0)=1Z = P+2(N'_- - N'_+) = 0+2(\frac{1}{2}-0) = 1Z=P+2(N−′−N+′)=0+2(21−0)=1

闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。

例题：经实验测得某最小相位系统的开环奈氏图如下所示，判断闭环稳定性。

答：由于题意已告知时最小相位系统，而最小相位系统是稳定的，故可知 P=0P=0P=0，且型别为 000，故直接利用开环频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω) 的轨迹曲线判断系统稳定性。由图可知，奈氏曲线由 ω=0\omega=0ω=0 到 ω=+∞\omega=+\inftyω=+∞ 先顺时针穿越区间 (−∞,−1)(-\infty, -1)(−∞,−1) 一次，故 N−′=1N'_- = 1N−′=1，后逆时针穿越一次，故 B+′=1B'_+ = 1B+′=1。因此，利用公式有 Z=P+2(N−′−N+′)=0+2(1−1)=0Z = P + 2(N'_- - N'_+) = 0 + 2(1-1) = 0Z=P+2(N−′−N+′)=0+2(1−1)=0

故由奈氏稳定判据知该闭环系统是稳定的。

4. 型别 ν≥1\nu \ge1ν≥1 系统开环频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω) 曲线的处理

在 ω=0\omega=0ω=0 附近，幅相特性以 ∞\infty∞ 为半径，逆时针补画 θ=ν⋅90∘\theta=\nu\cdot 90^\circθ=ν⋅90∘ 的圆弧，添加圆弧后相当于得到新的开环频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω) 的曲线。

此圆弧与实轴或虚轴的交点相当于新的起点，对应 ω=0\omega=0ω=0，原有曲线的起点对应于 ω=0+\omega=0^+ω=0+。注意所指曲线仍为 ω\omegaω 由 000 变到 +∞+\infty+∞ 时的开环幅相频率特性 GK(jω)G_K(j\omega)GK(jω)。

当系统的开环奈氏曲线作以上处理后，带入简化奈氏稳定判据即可，且系统在虚轴上的 000 值开环极点作左极点处理。 Z=P+2(N−′−N+′)Z = P+2(N'_- - N'_+)Z=P+2(N−′−N+′)

From: 自控19奈氏判据

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