2019-0404视觉SLAM的学习第三讲01

视觉SLAM第三讲学习笔记

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第三讲主要内容
- 旋转矩阵
- - 坐标系的欧式变换
  - 变换矩阵和齐次坐标
- 旋转向量和欧拉角
- - 旋转向量
  - 欧拉角
- 四元数
- - 定义
  - 运算
  - 四元数表示旋转
  - 四元数到旋转矩阵的转换

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第三讲主要内容

这一讲内容比较多，比较干货，把笔记做的详细一点，方便之后的回顾

旋转矩阵

其中的概念就略过了，基本都是常识

坐标系的欧式变换

1.简单来讲，我们的相机坐标系就是一个载体坐标系，而我们需要把相机看到的东西转换为世界坐标系，或者地球坐标系，

2.（常用的坐标系有东北天坐标系等，列出最近读的惯性导航中的常见坐标系）：

3.一般来讲我们把两组坐标系下的向量之间的转化以下列形式表示出来，左边的a向量表示一个旋转，左右两边的旋转应该是对应的。

将其进行一个数学变换，就可以得到左边的向量a到右边向量a’的关系了，如下图：

其中的R就是旋转矩阵，也就是说：旋转矩阵可以描述相机的旋转
4.简单来讲，我们的载体在坐标系下的运动可以由一个旋转和一个平移来表示，也就是说，将其进行数学抽象之后就是：
5.旋转矩阵是一个反对称矩阵，这一点要注意。

变换矩阵和齐次坐标

1.变换矩阵是旋转矩阵变换后的东西，是为了更好的数学表达，具体原因如下：
当一个坐标经过多次转变之后，我们的关系式:
变得比较复杂和杂乱，因此利用一个数学技巧：我们把一个三维向量的末尾添加1，变成了四维向量，称为齐次
坐标。对于这个四维向量，我们可以把旋转和平移写在一个矩阵里面，使得整个关系变成
了线性关系。

该式中，矩阵T 称为变换矩阵（Transform Matrix）。我们暂时用~a 表
示a 的齐次坐标。齐次坐标的概念我们知道这些足矣。

旋转向量和欧拉角

这是比较重要的引入概念的部分

旋转向量

1.为什么已经有了旋转矩阵和变换矩阵还要使用旋转变量，这是因为它的缺点是很明显的：
它必须是正交的，（行列式为1），它在三维空间的旋转矩阵都是9个参数，可我们每次的运动只有三个自由度，简单来讲就是最多只有x，y，z三个维度的变化，9个明显就是多余的，我们需要寻求一种更加简洁的表达，因此引入我们的旋转向量。
2.一个旋转轴和一个旋转角就可以表示任意旋转，因此我们把方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角的这种向量，称为旋转向量，实际上这个旋转向量就是李代数
3.下一章要学习李代数，因此这里我们直接放出一些结论供我们记忆就行了，其他的细节后续会慢慢提及，不影响我们的学习：
4.假设有一个旋转轴为n，角度为θ的旋转，显然，它对应的旋转向量为θn。由旋转向量到旋转矩阵的过程由罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula ）:

欧拉角

1.广义欧拉角的定义比较简单，我们直接上图：

X，Y，Z的方向参考下图：

至于更加形象的理解参考这幅图：

因此不必拘泥于死板的X，Y，Z方向，理解其中文意义：更加容易记忆
pitch-俯仰角 roll-翻滚角 yaw-偏航角

四元数

定义

1.目前四元数咱们只需要使用即可，至于它的优缺点也很明显，我们介绍它就是说它避免了旋转矩阵的冗余表示，避免了旋转向量的奇异性（简单理解奇异性：举个例子，经纬度表示地球坐标，但是当经度为±90°时，纬度没有意义，这就是奇异性），表示如下：

一种复数，一个实部，三个虚部，其中的i，j，k的意义如下：

2.另一种表示方法：
其余的定义与正常的复数是相同的，实四元数，虚四元数，即是指实部或者三个虚部全部为0，即为实四元数和虚四元数。
3.三维空间需要三个轴，四元数也有三个虚部，那么，一个虚四元数则对应到一个空间点，这就是介绍四元数的概念的意义，为了我们接下来的旋转的表示。
4.。假设某个旋转是绕单位向量n = [nx; ny; nz]的转置进行了角度为θ 的旋转，那么这个旋转的四元数形式为：

这个我就不上具体步骤了，你们可以自行推导一下，比较简单，套公式即可。
5.任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。这一点不多做解释，大家先使用即可。

运算

运算别想了就只有加减乘除。
1.加减：实部虚部加减即可，
2.乘：每一项拆开乘，但是虚部要满足这个关系，再贴一次：

3.共轭：
4.点乘，数乘，不提了比较简单：

四元数表示旋转

1.如上面讲的，四元数表示一个空间点即为：

虚四元数表示一个空间点。
2.接下来表示旋转：

3.p经过q这个旋转之后得到p’:

这就是旋转后得到的点。

四元数到旋转矩阵的转换

1.这个直接贴出来：

具体对应的实部和三个虚部为：