“贝式曲线与贝克汉姆啥关系？”

说起来贝氏曲线，我们可能首先会想到下面这个男人：

图1. 一位不愿透露姓名的英国球员

但实际上我们说的不是这个叫贝克汉姆的英国男人，而是另外一个人，就是下面这个叫“皮埃尔·贝塞尔”(Pierre Bézier)的法国男人：

图2. 皮埃尔·贝塞尔

贝塞尔论起知名度，也许不如小贝，但说起对人类的贡献，那可是杠杠的，著名的“贝塞尔曲线”就出自他之手。1962年，贝塞尔发表了贝塞尔曲线的相关理论研究，当时在雷诺公司工作的他，主要运用贝塞尔曲线进行汽车设计。说到这里可能还是有很多人没明白贝塞尔曲线到底是什么，看一下下面这个图，大家就明白了。

图3. 设计中用到的贝赛尔曲线

在Photoshop等多种设计软件中，画曲线时主要用到的是就是贝赛尔曲线，就是类似于上图中的这个曲线，设计师们可以通过控制中间的控制点来画出自己需要的曲线。早先设计师们想要用电脑画出一条直线灰常简单，但要画出一条平滑的曲线却非常难，而贝塞尔曲线的诞生，让大家用电脑绘制出一条平滑曲线成为了现实，这也就是贝塞尔曲线的最大用途。

而今天我们就来说一下最简单的二阶贝塞尔曲线的推导，并用matplotlib进行展示。(实际上最简单的是一阶，但因为其只有一条直线，所以没有什么实际用途，就忽略了)

我们先来了解一下二阶贝赛尔曲线的原理。假如连在一起的两条线段AB和BC，如下图：

图4. 二阶贝赛尔曲线原理图 1

现在AB上取一点D，BC上取一点E，使得AD/AB=BE/BC，如下图：

图5. 二阶贝赛尔曲线原理图 2

而在线段DE上还要求一点F，使得DF/DE=AD/AB=BE/BC，如下图：

图6. 二阶贝赛尔曲线原理图 3

而当D在AB上不断移动，E在BC上不断移动，形成的F点的轨迹便是一条曲线，这条曲线就是二阶贝塞尔曲线。这就是今天我们要推导并演示的曲线。

下面直接用Python代码来展示一下。首先还是导入各种包：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib import animation

因为我们用的是matplotlib来做的演示，所以要设置一下matplotlib的后端，也就是显示方式。这一行代码最好单独使用，否则容易失效，所以把它单独列出来：

%matplotlib

这是非常重要的一步，这一步能让matplotlib在绘图时弹出一个新窗口，而不是在原窗口直接绘制，因为原窗口无法显示动画，这里用了ipython的magic 命令，也就是在一个命令前面加上“%”。在这里说明一下，笔者用的是win7系统，开发工具为Anaconda最新版，可以直接去Anaconda官网下载。

因为我们要用到A、B、C三个点，所以要设置一下三个点坐标。A点坐标为x1和y1，B点为x2和y2，C点为x3和y3，再设置一个区间内点的个数dots_num，这个dots_num后面会有解释。所有这些变量的值都可以随意设定，但有一些要求，因为笔者把绘图的坐标系设定在100，也就是x轴和y轴的范围都是0—100，所以上面三个点的坐标都不要超过这个范围，而dots_num的数量尽可能大一些，做动画时更连贯一些，所以上面这些参数的设置如下：

x1=10y1=80x2=50y2=10x3=90y3=80dots_num=100

接下来是获得贝塞尔曲线的轨迹的函数：

def two_degree_bc(x1=10, y1=80, x2=50, y2=10, x3=90, y3=80, dots_num=100): #bezier curve    global xt, yt, x_dots12, x_dots23, y_dots12, y_dots23    xt = [] #目标点的x坐标    yt = [] #目标点的y坐标    x_dots12 = np.linspace(x1, x2, dots_num) #线段AB的x坐标    y_dots12 = np.linspace(y1, y2, dots_num) #线段AB的y坐标    x_dots23 = np.linspace(x2, x3, dots_num) #线段BC的x坐标    y_dots23 = np.linspace(y2, y3, dots_num) #线段BC的y坐标    for i in range(dots_num): #获得目标点的轨迹        x = x_dots12[i] + (x_dots23[i]-x_dots12[i])*i / (dots_num-1)        y = y_dots12[i] + (y_dots23[i]-y_dots12[i])*i / (dots_num-1)        xt.append(x)        yt.append(y)

这里的xt和yt是两个list，就是用来存放目标点的x坐标和y坐标，而x_dots12和y_dots12分别是线段AB的x和y坐标，x_dots23和y_dots23分别是线段BC的x和y坐标，这四个是numpy的array格式，所有这些数据都设置成全局变量。而从上面的代码中我们可以看到变量dots_num的作用是在线段AB和BC上取这么多的点，然后用这些点推导目标点的坐标，点的数量越多，目标点的坐标也就越多，绘制出来的曲线也就更平滑。

接下来是动画函数，这个函数后面再解释：

def run(i):    art1.set_data(x_dots12[i], y_dots12[i])    art2.set_data(x_dots23[i], y_dots23[i])    art3.set_data([x_dots12[i], x_dots23[i]], [y_dots12[i], y_dots23[i]])    art4.set_data(xt[i], yt[i])return art1,art2,art3,art4

最后就是绘制动画了，代码如下：

two_degree_bc() #先生成目标点的轨迹fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,8))ax.set_aspect(1) #让两个坐标轴等比例plt.xlim([0,100]) #设置坐标轴范围plt.ylim([0,100])ax.plot([x1, x2], [y1, y2], color='#3e82fc') #绘制AB线段ax.plot([x2, x3], [y2, y3], color='#3e82fc') #绘制BC线段ax.plot(xt,yt,color='orange') #绘制目标曲线art1, = ax.plot(x_dots12[0], y_dots12[0], color='green', marker='o') #不能用scatter，因为得到的对象不是一个list，是一个objectart2, = ax.plot(x_dots23[0], y_dots23[0], color='green', marker='o')art3, = ax.plot([x_dots12[0], x_dots23[0]], [y_dots12[0], y_dots23[0]], color = 'purple') #plot得到的结果是一个list，只包含一个元素，即一个形状objectart4, = ax.plot(xt[0], yt[0], color='red', marker='o') ani = animation.FuncAnimation(    fig, run, frames=range(100), interval=2, save_count=50)plt.show()

这里首先运行two_degree_bc()函数得到目标点的轨迹，然后绘制AB、BC线段以及目标曲线，这些都是静态图。接着从变量art1开始就是绘制动画的部分了。这部分比较复杂，一共有art1、art2、art3和art4这四个变量，其分别对应线段AB、BC、DE和目标曲线的移动轨迹，点在这四个轨迹上移动，才能形成动画。而要生成动画，就要用到animation的方法FuncAnimation，其含有多个参数，fig就是我们绘图的那个画布，run就是我们生成动画时运行的函数，frames是帧画面，其每一帧画面包含了这些移动轨迹中的一个点所对应的静态图，把这些点的轨迹也就是每一帧连起来就是动画轨迹，frames一般是一个sequence，也就是包含多个变量，每个变量都赋值给run函数，run函数利用这个参数生成一个静态图，这么多静态图连起来就是动画，这和我们在电影或电视中看到的动画片是一样道理。interval是帧之间的时间间隔，200代表0.2秒，这个可以随意设定。save_count=50是把帧缓存起来用于回放，缓存帧的数量越多，回放越流畅，这个影响不大，随意设定。

下面再说一下运行动画的函数run的作用，可以看到run一共有5行代码，前4行代码是绘图代码，最后一个是返回参数的代码，前4行中每一行都代表了前面我们说过的点的轨迹， art1是线段AB上的点，用set_data(x_dots12[i], y_dots12[i])方法就生成了一个对应的帧，变量i就是前面讲的frames里的一个参数，生成的这个帧返回给FuncAnimation，让其用于连续播放，这就形成了动画。后面art2、art3和art4的道理是一样的。生成的动画效果的静态截图如下：

图7. 二阶贝赛尔曲线静态成图

最后再放上一个动图，让我们在一个深V的运动中结束本次话题：

图8. 二阶贝赛尔曲线动态示意图

二阶贝塞尔曲线的推导相对还容易一些，而三阶甚至更高阶的推导就复杂一点，笔者目前正在研究三阶贝赛尔曲线，以后会给大家分享一下。

完整代码已经上传：

https://gitee.com/leonmovie/two_degree_bc

有需要的可以去自行下载。

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本文作者：小李子

编辑：佳佳

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