有线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b。本文以三维为例，讨论其物理意义。

解的物理意义

上述线性方程组包含若干个三元一次方程：
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1 a11x1+a12x2+a13x3=b1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2 a21x1+a22x2+a23x3=b2

a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 = b_3 a31x1+a32x2+a33x3=b3

. . . ... ...

其中每一个三元一次方程代表三维空间中的一个平面。如果平面个数大于维度，称为超定方程；小于维度，称为欠定方程；等于维度，称为适定方程。
满足这个线性方程组的解 x = [ x 1 , x 2 , x 3 ] x=[x_1,x_2,x_3] x=[x1,x2,x3]同时属于所有平面。

线性方程与平面

在进一步矩阵和方程之前，先复习一下三维平面的性质。

如果三元一次方程是齐次的，形如 a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 a1x1+a2x2+a3x3=0，则该平面过原点。

证明：易证 [ 0 , 0 , 0 ] [0,0,0] [0,0,0]满足该方程。

过原点的平面平移 [ x 1 ˉ , x 2 ˉ , x 3 ˉ ] [\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3}] [x1ˉ,x2ˉ,x3ˉ]，变为 a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = a 1 x 1 ˉ + a 2 x 2 ˉ + a 3 x 3 ˉ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=a_1\bar{x_1}+a_2\bar{x_2}+a_3\bar{x_3} a1x1+a2x2+a3x3=a1x1ˉ+a2x2ˉ+a3x3ˉ

证明：系数不变说明角度不变，代入 [ x 1 ˉ , x 2 ˉ , x 3 ˉ ] [\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3}] [x1ˉ,x2ˉ,x3ˉ]可知平移到此处。

常数项 b b b变化时，平面角度不变，只发生平移。

证明：设变化前后有两个平面
a 11 x + 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a_{11}x+1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1 a11x+1+a12x2+a13x3=b1

a 11 x + 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ′ a_{11}x+1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1' a11x+1+a12x2+a13x3=b1′
两式相减 b 1 − b 1 ′ = 0 b_1-b_1'=0 b1−b1′=0，可知两平面无交点，平行。

平面 a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b a1x1+a2x2+a3x3=b的法向量是 [ a 1 , a 2 , a 3 ] [a_1,a_2,a_3] [a1,a2,a3]

证明：将平面方程稍作变化
a 1 ( x 1 − b / a 1 ) + a 2 ( x 2 − 0 ) + a 3 ( x 3 − 0 ) = 0 a_1(x_1-b/a_1)+a_2(x_2-0)+a_3(x_3-0)=0 a1(x1−b/a1)+a2(x2−0)+a3(x3−0)=0
可以看做两个向量的内积
向量1： [ a 1 , a 2 , a 3 ] [a_1,a_2,a_3] [a1,a2,a3]
向量2： [ x 1 , x 2 , x 3 ] − [ b / a 1 , 0 , 0 ] [x_1,x_2,x_3]-[b/a_1,0,0] [x1,x2,x3]−[b/a1,0,0]。这是连接平面上任一点 [ x 1 , x 2 , x 3 ] [x_1,x_2,x_3] [x1,x2,x3]和平面上固定点 [ b / a 1 , 0 , 0 ] [b/a_1,0,0] [b/a1,0,0]的向量。
向量内积为0，说明相互垂直。即平面垂直于法向量。

这里有个在线三维绘制工具可以体会一下。

齐次方程组

齐次方程组具有形式 A x = 0 Ax=0 Ax=0，平面都是过原点的。根据系数矩阵 A A A的秩不同，有以下三种情况。

【情况1】 r ( A ) = 3 r(A)=3 r(A)=3。

A A A的每一行，即所有平面的法向量 [ a 11 , a 12 , a 13 ] , [ a 21 , a 22 , a 23 ] , [ a 31 , a 32 , a 33 ] . . . [a_{11},a_{12},a_{13}],[a_{21},a_{22},a_{23}],[a_{31},a_{32},a_{33}]... [a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]...能够张成一个三维空间。

平面只有一个交点： [ 0 , 0 , 0 ] [0,0,0] [0,0,0]，线性方程有一个解。

【情况2】 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2。
所有平面的法向量，都处于同一个平面内。
由于三个平面都过同一个点 [ 0 , 0 , 0 ] [0,0,0] [0,0,0]，所以他们共有一条交线，线性方程有无穷多解。

这些解共线，换句话说，它们构成了一个二维的子空间。可以用 x = c x ˉ x=c\bar{x} x=cxˉ表示。

【情况3】 r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1。
所有平面的法向量共线。
由于三个平面都过同一个点，所有平面重合于过 [ 0 , 0 , 0 ] [0,0,0] [0,0,0]的平面，线性方程有无穷多解。同样可以用可以用 x = c x ˉ x=c\bar{x} x=cxˉ表示。

特别地，当齐次方程组为适定的，即共有三个平面时，上述结论变成我们熟悉的矩阵性质。即如果 r ( A ) = 3 r(A)=3 r(A)=3，则 A A A可逆， x = A − 1 b x=A^{-1}b x=A−1b。

非齐次方程组

非齐次方程具有形式 A x = b Ax=b Ax=b。相当于把前述若干平面进行平移。

如果不经限定的平移，一般情况下方程组的解都会变少。只有当所有平面“绑定在一起”平移时，解的情况才不发生变化。

这种情况相当于所有平面都平移 [ x 1 ˉ , x 2 ˉ , x 3 ˉ ] [\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3}] [x1ˉ,x2ˉ,x3ˉ]。
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = a 11 x 1 ˉ + a 12 x 2 ˉ + a 13 x 3 ˉ a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = a_{11}\bar{x_1}+a_{12}\bar{x_2}+a_{13}\bar{x_3} a11x1+a12x2+a13x3=a11x1ˉ+a12x2ˉ+a13x3ˉ

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = a 21 x 1 ˉ + a 22 x 2 ˉ + a 23 x 3 ˉ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = a_{21}\bar{x_1}+a_{22}\bar{x_2}+a_{23}\bar{x_3} a21x1+a22x2+a23x3=a21x1ˉ+a22x2ˉ+a23x3ˉ

a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = a 31 x 1 ˉ + a 32 x 2 ˉ + a 33 x 3 ˉ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 = a_{31}\bar{x_1}+a_{32}\bar{x_2}+a_{33}\bar{x_3} a31x1+a32x2+a33x3=a31x1ˉ+a32x2ˉ+a33x3ˉ

. . . ... ...

写成矩阵形式
A x = b = A x ˉ Ax=b=A\bar{x} Ax=b=Axˉ

即，常数项 b b b可以表示成 A A A的列的线性组合，即 b b b处于 A A A的列空间内。把 A , b A,b A,b并列组成的增广矩阵 [ A ; b ] [A;b] [A;b]与系数矩阵 A A A的秩相同。

从矩阵的角度来说，增加一列不会减少矩阵的秩，即 r ( A ) ≤ r ( [ A ; b ] ) r(A)\leq r([A;b]) r(A)≤r([A;b])。
如果 r ( A ) = r ( [ A ; b ] ) r(A)=r([A;b]) r(A)=r([A;b])，则 A x = b Ax=b Ax=b的解的情况和 A x = 0 Ax=0 Ax=0相同；
如果 r ( A ) < r ( [ A ; b ] ) r(A)<r([A;b]) r(A)<r([A;b])，则 A x = b Ax=b Ax=b无解。

【线性代数】矩阵与线性方程组的几何意义相关推荐

线性代数--矩阵、向量
线性代数线性代数矩阵及其运算矩阵分块法矩阵的初等变换于线性方程组矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解向量组的线性相关性向量组及其线性组合向量组的线性相关性线性代数矩阵及其运算 ...
线性代数-矩阵的初等变换与线性方程式
以下均为个人理解,如有错误,请大佬指出,小生立马就改正. 线性代数-矩阵的初等变换与线性方程式 1. 矩阵的初等变换 2. 行最简矩阵 2.1 矩阵的秩 3. 线性方程组的解 1. 矩阵的初等变换定 ...
线性代数---矩阵的各种问题求解方法
线性代数-矩阵的各种问题求解方法如果存在什么问题,欢迎批评指正!谢谢!
matlab 病态方程组,数值分析(Hilbert矩阵)病态线性方程组的求解Matlab程序
(Hilbert 矩阵)病态线性方程组的求解理论分析表明,数值求解病态线性方程组很困难.考虑求解如下的线性方程组的求解Hx = b ,期中H 是Hilbert 矩阵,()ij n n H h ?=, ...
线性代数矩阵行列式_矩阵的行列式使用Python的线性代数
线性代数矩阵行列式 In linear algebra, the determinant is a scalar value that can be computed for a square mat ...
线性代数矩阵乘法中的行向量和列向量
线性代数矩阵乘法中的行向量和列向量在矩阵中有两个概念,行向量与列向量,这是从两个不同的角度看待矩阵的组成.这篇文章将从行向量和列向量两个角度来分解矩阵的乘法. 假设有两个矩阵A和B 一般矩阵的乘法分 ...
线性代数矩阵行列式_非平方矩阵的行列式| 使用Python的线性代数
线性代数矩阵行列式 Prerequisites: 先决条件: Defining a Matrix 定义矩阵 Determinant of a Matrix 矩阵的行列式 Note: Determina ...
数学/线性代数 {矩阵初等变换,[阶梯形/最简形]矩阵,初等矩阵}
数学/线性代数 {矩阵初等变换,[阶梯形/最简形]矩阵,初等矩阵}; @LOC_COUNTER: 3; 矩阵的初等变换定义矩阵的初等变换和行列式的变换是完全一样的; . LINK: (http ...
matlab 解方程组矩阵,用MATLAB计算矩阵和解线性方程组.ppt
用MATLAB计算矩阵和解线性方程组.ppt 第五章矩阵与行列式 §5.6 用MATLAB计算矩阵与行列式用MATLAB计算矩阵与行列式行列式的求值矩阵的基本运算矩阵的加.减数与矩阵相乘 ...

【线性代数】矩阵与线性方程组的几何意义

解的物理意义

线性方程与平面

齐次方程组

非齐次方程组

【线性代数】矩阵与线性方程组的几何意义相关推荐

最新文章

热门文章