【学习记录】普朗克坐标 Plücker coordinates

一、普朗克坐标的表示方法

普朗克坐标是表示空间直线的一种方法，相较于用只存储空间直线上两个点的方法，普朗克坐标能够更好地表示空间直线。普朗克坐标采用六自由度的表示方法，用六个量进行表示，其中六个量可以分为两组，每组为一个三维向量，一般记为m和d，其中d表示空间直线的方向向量，直接用端点的三维坐标相减即可得到，而m表示的是反投影平面的法向量，这里的反投影平面，指的是相机光心出发，分别指向图像上线段的两个端点，由此形成的一个反向延长平面，普朗克坐标在这里一般用的是两条射线的叉乘来表示。

考虑到叉乘的几何意义，这里m的模，表示的实际上就是空间线段、相机光心围成三角形的面积的两倍，所以我们可以这样去理解普朗克坐标，我们首先用d锁死了空间直线的方向和截取线段的长度，用m的模确定了围成三角形的面积，三角形底确定，那么可以顺势得到高，也就是相机光心到线段的距离，而m的方向又确定了反投影平面的方向，由此直接确定出我们要表示的空间直线。

普朗克坐标存在的一个问题是自由度的冗余，高中就学过的空间直线表示方法里，一条空间直线需要四个参数，也就是ax+by+cz+d=0中的abcd，所以普朗克坐标在优化时会因为冗余的问题导致优化的不方便，在PL-VIO中采用的是坐标转换的方法，当需要计算相交或者求误差时，就是用普朗克坐标来计算，而涉及优化时，就用单独的函数转换为正交坐标，优化完再转换回去，这种方法虽然麻烦，但确实很好地解决了优化时的复杂。

二、普朗克坐标的应用

三角化

线段的三角化是一个很重要的问题，在单目SLAM中，深度的恢复基本使用的都是三角化的策略，对于点，三角化的策略已经十分稳定，但是线段的三角化使用的缺不多，PLSLAM中使用的方法是对线段的两个端点进行三角化，空间两点的连线就成为了空间线段的表示方法，这种方法虽然可以完成线段三角化的任务，但是显然对线段的利用程度不高，只取两个端点进行深度的恢复，而剩下的点根本没有起到什么约束作用，当然也可以用采样点的方法，采样出许多个点然后三角化，对恢复深度的点进行直线的拟合从而得到空间信息。从这个角度来看，我们为了线段的空间表示付出了太多，又是采样点又是多个三角化，还要再次剔除离散点拟合。

使用普朗克坐标一个很大优势在于，我们可以用普朗克坐标直接计算出空间线段的表示。PL-VIO使用的就是这个方法，其本质还是利用光心、2d线段的端点形成的反向延长平面相交来快速计算，简单来说就是联立两个空间平面方程，解出一个空间直线方程。

所以我们需要的就是用π1和π2两个平面方程，解出直线l的方程，参考PL-VIO，这里我们使用两个平面方程，可以直接解出直线L的空间方程的普朗克坐标形式：

在这个式子中，左侧的4×4矩阵，左上角3×3矩阵为普朗克坐标中方向向量的反对称矩阵形式，左下角的1×3向量为平面法向量的转置，所以这个4×4矩阵中就已经包含了普朗克坐标需要的两个内容。再看式子右侧，需要的是两个平面的方程形式，这里的平面方程是一个1×4的向量形式，其定义为：

这个量其实就是空间平面的方程里的四个量，具体来说就是xyz的系数以及常数项：

上面的式子展开，得到的常数项进行整合：

由于采用了点法式的写法，所以前三个量可以直接用向量叉乘的方法得到：

这样看，在线段三角化的过程中，我们可以用两个平面的空间方程直接解出线的普朗克坐标形式。

坐标系的转换

点的转换我们可以直接使用点坐标乘变换矩阵实现坐标系的移动，使用普朗克坐标的线段也可以实现类似的变换，参考DPLVO：

这样我们就可以直接利用变换矩阵，将R和t变换一下形成H矩阵，之后就可以直接投影实现坐标系的变换。

投影到成像平面

如果我们已经有空间直线的三角化后的普朗克坐标，我们可以使用普朗克坐标直接实现空间到成像平面的转换，参考PL-VIO，nc为普朗克坐标中前面三个数，也就是延长平面法向量的部分，k为相机的内参矩阵变形：

当成像平面为单位化平面时，内参矩阵变形为单位矩阵，这个时候直接取普朗克坐标的前三位即为投影直线的三个描述。

角度表示

在DPLVO里还提到了一种用夹角来转换出普朗克坐标的方法，这种方法里面使用反向延长平面以及端点的反向延长线来进行表示，反向延长平面的法向量记为：

端点的反向延长方向记为：

α与方向向量之间的夹角记为θL，τL记为线到到光心的距离，那么线段的普朗克坐标也可以表示为：

点到线的距离的衡量

在EDPLVO中，作者使用普朗克坐标来快速计算点到直线的距离，本身上还是利用普朗克坐标的含义，也就是确定面积和底的长度，从而找出三角形的高。

在这种情况下，计算点到直线的距离需要知道点在相机坐标系下的坐标：