参考 S.-J. Kim, K. Koh, S. Boyd, and D. Gorinevsky “l_1 Trend Filtering” SIAM Review, problems and techniques section, 51(2):339–360, May 2009

CVX示例库

趋势滤波（Trend Filtering）
- l 1 l_1 l1趋势滤波

趋势滤波（Trend Filtering）

假设时间序列 y t , t = 1 , … , n y_t,t=1,\dots,n yt,t=1,…,n由缓慢变化的趋势（Trend） x t x_t xt和快速变化的噪声 v t v_t vt组成。趋势滤波的目的是从时间序列 y t y_t yt中估计趋势 x t x_t xt。趋势滤波（Trend Filtering）可以看作一个具有两个目标的优化问题：我们希望 x t x_t xt平滑，同时希望 v t v_t vt尽可能地小。

l 1 l_1 l1趋势滤波

l 1 l_1 l1趋势估计问题：
minimize 1 2 ∥ y − x ∥ 2 2 + λ ∥ D x ∥ 1 \text{minimize}~\frac{1}{2}\|y-x\|_2^2+\lambda \|Dx\|_1 minimize 21∥y−x∥22+λ∥Dx∥1
其中 λ > 0 \lambda >0 λ>0是正则参数，控制 x t x_t xt的平滑度和 v t v_t vt的大小之间的折中， D D D是二阶差分矩阵，是一个托普利兹矩阵，第一行是 [ 1 − 2 1 0 ⋯ 0 ] [1 ~-2 ~1~0~\cdots~0] [1 −2 1 0 ⋯ 0]。

代码如下：

% 加载时间序列数据
y = csvread('snp500.txt'); % 需要在CVX示例库处下载
n = length(y);% 构造二阶差分矩阵
e = ones(n,1);
D = spdiags([e -2*e e], 0:2, n-2, n);% 设置正则参数
lambda = 50;% 求解l1趋势滤波问题、
cvx_beginvariable x(n)minimize( 0.5*sum_square(y-x)+lambda*norm(D*x,1) )
cvx_end% 画出估计的趋势和原始信号
figure(1);
plot(1:n,y,'k:','LineWidth',1.0); hold on;
plot(1:n,x,'b-','LineWidth',2.0); hold off;
xlabel('date'); ylabel('log price');

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