导向滤波（guided Image Filtering）

最近两天看了何凯明大神的导向滤波器（Guided Image Filtering），刚刚才顿悟整篇文章的核心。本文只针对于I=pI=pI=p的情况，即对图像III进行滤波处理。个人认为导向滤波器其实就是对均值滤波器的改进。由于均值滤波器会使图像模糊，尤其是对图像的边缘影响较大。然而，对图像进行处理时，图像的主要信息都隐藏在边缘处。所以为了保护图像的边缘信息，又能具有良好的滤波效果，是不是有一种滤波器在图像平滑的地方进行均值滤波，而在图像边缘的地方不进行滤波，或者进行轻微的滤波，那么图像的边缘信息不就保留下来了么，而且平滑的地方还有很好的均值滤波效果。
        那么问题来了，如何才能知道到底是不是图像的边缘呢？这里何凯明大神选取的指标是方差。方差是表示被统计信息变化特征的量。方差越大，表示图片在这里变化越大，也就表示此处是图像里某一物体的边缘，此处的信息需要进行保护。方差越小，表示图片在这里变化较小，该处所含信息量较少，可以进行滤波平滑处理。
        边缘参数找到了，如何将边缘参数的信息反映到对图像的滤波处理上呢？何凯明大神此处选取的是对图片每一像素值的线性处理，方程为：
qi=aiIi+bi(1)\begin{aligned} q_i=a_iI_i+b_i && (1) \end{aligned} qi=aiIi+bi(1)
        这里qiq_iqi是处理后的像素值，IiI_iIi是待处理的像素值。 aia_iai和bib_ibi是对像素值进行线性处理的参数。且
ai=σi2σi2+ϵ(2)\begin{aligned} a_i=\frac{\sigma_i^2}{\sigma_i^2+\epsilon} && (2) \end{aligned} ai=σi2+ϵσi2(2)
bi=μi−aiμi(3)\begin{aligned} b_i=\mu_i-a_i\mu_i && (3) \end{aligned} bi=μi−aiμi(3)
        将（3）代入（1）得
qi=ai(Ii−μi)+μi(4)\begin{aligned} q_i=a_i(I_i-\mu_i)+\mu_i && (4) \end{aligned} qi=ai(Ii−μi)+μi(4)

这里μi\mu_iμi为该点及附近点的均值（即：该点经过均值滤波器处理后的值）， σi2\sigma_i^2σi2为该点及附近点的方差。 ϵ\epsilonϵ为一设置参数，用来表示图片此处平坦还是边缘的方差阈值。由式（2）可知，aia_iai的范围为（0,1）。当σ≪ϵ\sigma \ll \epsilonσ≪ϵ时，表示图片此处平坦，则ai≈0a_i \approx 0ai≈0，qi≈μiq_i \approx \mu_iqi≈μi 。此处的滤波效果为经过均值滤波器的效果。当σi≫ϵ\sigma_i \gg \epsilonσi≫ϵ时，表示图片此处变化较为剧烈，为边缘，则ai≈1a_i \approx 1ai≈1, qi≈Iiq_i \approx I_iqi≈Ii结果为图片未经过任何处理。
细读论文会发现，滤波的最终公式为:
qi=aˉiIi+bˉi(5)\begin{aligned} q_i = \bar a_iI_i+\bar b_i && (5) \end{aligned} qi=aˉiIi+bˉi(5)
分别对参数aia_iai和bib_ibi进行了一次均值滤波处理。这里我没太想明白。可能是作者嫌处理后的图像不够平滑，又做了一次平滑处理吧。近似相当于对式（1）得到的结果进行了一次均值滤波处理，但是作者可能又觉得对式（1）得到的结果进行均值滤波处理边缘信息丢失的比较严重，所以作者只对参数aia_iai和bib_ibi分别进行均值滤波处理。这样得到的图片会更加光滑一些，且边缘信息丢失的也不严重吧。

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