数据结构之（二叉）堆

（二叉）堆是一个数组，是一颗近似完全二叉树，分为大顶堆&小顶堆。表示堆的数组A有两个属性：（1）A.length表示数组元素的个数；（2）A.heap-size表示有多少个堆元素存储在数组A中。更多的关于堆的性质的介绍：算法导论第三版：p85-p89、编程珠玑：p141-p145。

堆的操作主要包括堆插入、堆删除两个，而堆插入设计到SiftUp操作（自底向上调整），堆删除涉及到SiftDown操作（自顶向下调整，大顶堆时对应算法导论上的MAX-HEAPIFY操作）。

下面是大顶堆和小顶堆的基本操作的C++的实现：

//heap.h
#pragma oncetemplate<class T>
class Heap
{
public:Heap(const int nmax = 100) : max_size(nmax){arr = new T[max_size];size = 0;}virtual ~Heap() {delete []arr;}void Insert(const T &e);   void Delete(const T &e);int Search(const T &e) const;void Print() const;
protected:T *arr;const int max_size;    //max array elementsint size;   //size of heapvirtual void SiftDown(int i) = 0;    //adjust from up to downvirtual void SiftUp(int i) = 0;    //adjust from down to up
};template<class T>
void Heap<T>::Insert(const T &e)
{if (size == max_size)return;arr[size++] = e;  //将新插入的元素添加在最后位置并增加sizeSiftUp(size - 1);  //数组下标从0开始
}template<class T>
void Heap<T>::Delete(const T &e)
{int pos = Search(e);if (pos == -1)return;arr[pos] =    arr[--size];    //用最后的元素填充pos位置的元素，并减少sizeSiftDown(pos);
}template<class T>
int Heap<T>::Search(const T &e)const
{for (int i = 0; i < size; i++)if (arr[i] == e)return i;return -1;
}template<class T>
void Heap<T>::Print()const
{for (int i = 0; i < size; i++)cout << arr[i] << " ";cout << endl;
}

最大堆：maxHeap.h

//maxHeap.h
#pragma once
#include "heap.h"
#include <iostream>
using std::cout;
using std::endl;template<class T>
class MaxHeap : public Heap<T>
{
public:MaxHeap(const int nmax = 100) : Heap(nmax) {}   ~MaxHeap() {}
private:virtual void SiftDown(int i);   //adjust from up to downvirtual void SiftUp(int i); //adjust from down to up
};template<class T>
void MaxHeap<T>::SiftDown(int i)
{   //已知arr[i,...,size)除arr[i]之外均满足大顶堆的定义,本函数向下调整arr[i]//使得在具有size个结点的堆中,以i为下标的根节点的子树重新遵循最大堆的性质//size为节点总数，从0开始计算，i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2int tmp, j;j = 2 * i + 1;//结点i的左孩子下标tmp = arr[i];while (j < size){if (j + 1 < size && arr[j + 1] > arr[j])//找左右孩子中最大的j++;if (arr[j] <= tmp)   // 父结点tmp=arr[i]比孩子结点arr[j]大break;arr[i] = arr[j];//把较大的子结点往上移动,替换它的父结点i = j;j = 2 * i + 1;}arr[i] = tmp;
}
template<class T>
void MaxHeap<T>::SiftUp(int i)
{//新加入结点i,原本arr[0, size）满足堆性质,向上调整使得[0, size+1)满足最大堆性质int j, tmp;j = (i - 1) / 2; //i的父结点tmp = arr[i];while (j >= 0 && i != 0){if (arr[j] >= tmp)    //父节点arr[j]比子结点tmp = arr[i]大break;arr[i] = arr[j];//把较小的父结点往下移动,替换它的子结点i = j;j = (i - 1) / 2;}arr[i] = tmp;
}

最小堆：minHeap.h

//minHeap.h
#pragma once
#include "heap.h"
#include <iostream>
using std::cout;
using std::endl;template<class T>
class MinHeap : public Heap<T>
{
public:MinHeap(const int max_size = 100) : Heap(max_size) {}~MinHeap(){}
private:virtual void SiftDown(int i);   virtual void SiftUp(int i);
};template<class T>
void MinHeap<T>::SiftDown(int i)
{//已知arr[i,...,size)除arr[i]之外均满足小顶堆的定义,本函数向下调整arr[i]//使得在具有size个结点的堆中,以i为下标的根节点的子树重新遵循最大堆的性质//size为节点总数，从0开始计算，i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2int j, tmp;j = 2 * i + 1; //左孩子tmp = arr[i];while (j < size ){if (j + 1 < size && arr[j + 1] < arr[j])   //找左右孩子中最小的j++;if (arr[j] >= tmp) //   父结点tmp=arr[i]比孩子结点arr[j]小break;arr[i] = arr[j];  //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点i = j;j = 2 * i + 1;}arr[i] = tmp;
}template<class T>
void MinHeap<T>::SiftUp(int i)
{int j, tmp;j = (i - 1) / 2;  //父结点tmp = arr[i];while (j >= 0 && i != 0){if (arr[j] <= tmp)  //父节点arr[j]比子结点tmp = arr[i]小break;arr[i] = arr[j];   //把较大的父结点往下移动,替换它的子结点i = j;j = (i - 1) / 2;}arr[i] = tmp;
}

测试代码：

#include "maxHeap.h"
#include "minHeap.h"int main()
{int a[12] = {15, 13, 9, 5, 12, 8, 7, 4, 0, 6, 2, 1};MaxHeap<int> maxheap(20);MinHeap<int> minheap(20);for (int i = 0; i < 12; i++)maxheap.Insert(a[i]);  //向上调整maxheap.Print();maxheap.Delete(4);    //向下调整maxheap.Print();for (int i = 0; i < 12; i++)minheap.Insert(a[i]);   //向上调整minheap.Print();minheap.Delete(4);    //向下调整minheap.Print();getchar();return 0;
}

这里用的是插入的方法建堆：最坏情况下，建立一个包含n个元素的堆的时间复杂度是O（nlgn），大theta。

下一篇文中的堆排序，可以在线性时间O（n）内，把一个无需数组构造成一个最大堆。

一般地，还要k叉堆：算法导论第三版p93。

利用堆可以实现：堆排序、优先队列。在Dijkstra算法中： EXTRACT-MIN(Q) 操作，就可以先建立最小堆，然后从最小队列中，每次抽取最小结点（参考最短路径之Dijkstra算法一文的参考资料链接）。

此外，堆还可以用于：海量数据中选择前k个最大（最小）的数。

思想：在一个很大的无序数组里面选择前k个最大（最小）的数据，最直观的做法是把数组里面的数据全部排好序，然后输出前面最大（最小）的k个数据。但是，排序最好需要O(nlogn)的时间，而且我们不需要前k个最大（最小）的元素是有序的。这个时候我们可以建立k个元素的最小堆(得出前k个最大值)或者最大堆(得到前k个最小值)，我们只需要遍历一遍数组，在把元素插入到堆中去只需要logk的时间，这个速度是很乐观的。利用堆得出前k个最大（最小）元素特别适合海量数据的处理。

参考资料：算法导论第三版：p85-p89、编程珠玑：p141-p145

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