CF940E Cashback 题解

这道题好像很烦，我第一眼看过去确实没有任何思路。

但是仔细分析题目后，我们会发现：

c=1c=1c=1 时，答案为 0，但是好像没有这个点？
c>nc > nc>n 时，答案为序列总和。
c=nc = nc=n 时，答案为序列总和减去最小值。
1<c<n1 < c < n1<c<n 且 n<2×cn < 2 \times cn<2×c 时，此时序列只能分为一段，而别的序列我们可以看成是长度为 1 的区间。
1<c<n1 < c < n1<c<n 且 2×c≤n2 \times c \leq n2×c≤n 时，我们可以将序列分为多段，而此时别的序列仍然可以分割成长度为 1 的区间。

因此只有两种区间：长度为 1 和长度为 ccc。

接下来主要考虑 1<c<n1 < c < n1<c<n 的情况。

我们发现，此时问题就变成了一个 dp 问题。

设 fif_ifi 表示到 aia_iai 截止时的答案，那么：

1≤i<c1 \leq i < c1≤i<c 时：fi=∑j=1iajf_i = \sum_{j = 1}^{i}a_jfi=j=1∑iaj
c≤i≤nc \leq i \leq nc≤i≤n 时：fi=min⁡(fi−c+sumi−sumi−c−minni,fi−1+ai)f_i = \min{(f_{i - c} + sum_i - sum_{i - c} - minn_i,f_{i - 1} +a_i)}fi=min(fi−c+sumi−sumi−c−minni,fi−1+ai)

其中 sumsumsum 是前缀和数组，minniminn_iminni 表示 [i−c+1,i][i - c + 1,i][i−c+1,i] 这一段区间中的 aia_iai 的最小值。

然后发现 ccc 是确定的，于是对 minniminn_iminni 直接单调队列优化即可，总复杂度 O(n)O(n)O(n)。

Code：

/*
======== Plozia =========Author:PloziaProblem:CF940E CashbackDate:2021/1/6
========= Plozia =========
*/#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const int MAXN = 1e5 + 10;
int n, c, q[MAXN], l = 1, r = 0;
LL a[MAXN], f[MAXN], minn[MAXN], sum[MAXN];LL read()
{LL sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9') {sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}return sum * fh;
}int main()
{n = read(), c = read();for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();for (int i = 1; i <= n; ++i){while (l <= r && q[l] + c <= i) l++;while (l <= r && a[i] <= a[q[r]]) r--;q[++r] = i; minn[i] = a[q[l]]; sum[i] = sum[i - 1] + a[i];}for (int i = 1; i < c; ++i) f[i] = f[i - 1] + a[i];for (int i = c; i <= n; ++i) f[i] = min(f[i - c] + sum[i] - sum[i - c] - minn[i], f[i - 1] + a[i]);printf("%lld\n", f[n]);return 0;
}

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