前言

上星期写了Kaggle竞赛的详细介绍及入门指导，但对于真正想要玩这个竞赛的伙伴，机器学习中的相关算法是必不可少的，即使是你不想获得名次和奖牌。那么，从本周开始，我将介绍在Kaggle比赛中的最基本的也是运用最广的机器学习算法，很多项目用这些基本的模型就能解决基础问题了。

1 概述

隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model，HMM)是结构最简单的动态贝叶斯网，这是一种著名的有向图模型，主要用于时序数据建模(语音识别、自然语言处理等)。

假设有三个不同的骰子(6面、4面、8面)，每次先从三个骰子里选一个，每个骰子选中的概率为1/3，如下图所示，重复上述过程，得到一串数字[1 6 3 5 2 7]。这些可观测变量组成可观测状态链。

同时，在隐马尔可夫模型中还有一条由隐变量组成的隐含状态链，在本例中即骰子的序列。比如得到这串数字骰子的序列可能为[D6 D8 D8 D6 D4 D8]。

隐马尔可夫模型示意图如下所示：

图中，箭头表示变量之间的依赖关系。在任意时刻，观测变量(骰子点数)仅依赖于状态变量(哪类骰子)，“观测独立性假设”。

同时，t时刻的状态qt仅依赖于t-1时刻的状态qt-1。这就是马尔可夫链，即系统的下一时刻的状态仅由当前状态决定不依赖以往的任何状态(无记忆性)，“齐次马尔可夫性假设”。

2 隐马尔可夫模型三要素

对于一个隐马尔可夫模型，它的所有N个可能的状态的集合Q={q1,q2,…,qN}，所有M个可能的观测集合V={v1,v2,…,vM}

隐马尔可夫模型三要素：状态转移概率矩阵A，A=[aij]NxN，aij表示任意时刻t状态qi条件下，下一时刻t+1状态为qj的概率;

观测概率矩阵B，B=[bij]NxM，bij表示任意时刻t状态qi条件下，生成观测值vj的概率;

初始状态概率向量Π，Π=(π1,π2,…,πN),πi表示初始时刻t=1，状态为qi的概率。

一个隐马尔可夫模型可由λ=(A, B, Π)来指代。

3 隐马尔可夫模型的三个基本问题(1) 给定模型λ=(A, B, Π)，计算其产生观测序列O={o1,o2,…,oT}的概率P(O|λ)；

计算掷出点数163527的概率

(2) 给定模型λ=(A, B, Π)和观测序列O={o1,o2,…,oT}，推断能够最大概率产生此观测序列的状态序列I={i1,i2,…,iT}，即使P(I|O)最大的I；

推断掷出点数163527的骰子种类

(3) 给定观测序列O={o1,o2,…,oT}，估计模型λ=(A, B, Π)的参数，使P(O|λ)最大；

已知骰子有几种，不知道骰子的种类，根据多次掷出骰子的结果，反推出骰子的种类

这三个基本问题在现实应用中非常重要，例如根据观测序列O={o1,o2,…,oT-1,}推测当前时刻最有可能出现的观测值OT，这就转换成基本问题(1)；

在语音识别中，观测值为语音信号，隐藏状态为文字，根据观测信号推断最有可能的状态序列，即基本问题(2)；

在大多数应用中，人工指定参数模型已变得越来越不可行，如何根据训练样本学得最优参数模型，就是基本问题(3)。

4 三个基本问题的解法

基于两个条件独立假设，隐马尔可夫模型的这三个基本问题均能被高效求解。

4.1 基本问题(1)解法

4.1.1 直接计算法(概念上可行，计算上不可行)

通过列举所有可能的长度为T的状态序列I=(i1,i2,…,iT)，求各个状态序列I与观测序列O同时出现的联合概率P(I,O|λ)，然后对所有可能求和得到P(O|λ)。

状态序列I=(i1,i2,…,iT)的概率是P(I|λ)=π1a12a23…a(T-1)T

对于固定状态序列 I，观测序O=(o1,o2,…,oT)的概率P(O|I,λ)= b11b22…bTT

I 和 O同时出现的联合概率P(I,O|λ)= P(I|λ) P(O|I,λ)

然后对所有可能的 I 求和，得到P(O|λ)

这种方法计算量很大，算法不可行。

4.1.2 前向算法(forward algorithm)(t=1,一步一步向前计算)

前向概率αt(i)= P(o1,o2,…,ot,ii=qi|λ)，表示模型λ，时刻 t，观测序列为o1,o2,…,ot且状态为qi的概率。

(1) 初始化前向概率

状态为qi和观测值为o1的联合概率 α1(i)=π1bi1

(2) 递推t=1,2,…,T-1

根据下图，得到αt+1(i)= [Σj=1,…,Nαt(j)αji]bi(t+1)

(3) 终止 P(O|λ) = Σi=1,…,NαT(i)

前向算法高效的关键是其局部计算前向概率，根据路径结构，如下图所示，每次计算直接利用前一时刻计算结果，避免重复计算，减少计算量。

4.1.3 后向算法(backward algorithm)

后向概率βt(i) = P(o1,o2,…,ot,ii=qi|λ)，表示模型λ，时刻t，从t+1到时刻T观测序列o1,o2,…,ot且状态为qi的概率。

(1)初始化后向概率

对最终时刻的所有状态为qi规定βT(i) = 1。

(2)递推t=T-1,T-2,…,1

根据下图，计算t时刻状态为qi，且时刻t+1之后的观测序列为ot+1,ot+2,…，ot的后向概率。只需考虑t+1时刻所有可能的N个状态qi的转移概率(transition probability) αij,以及在此状态下的观测概率bi(t+1),然后考虑qj之后的后向概率βt+1(j)，得到

βt(i) = Σj=1,…,Nβt+1(j)αijbi(t+1).

​(3) 终止 P(O|λ) = Σi=1,…,Nβ1(i)πibi1

前向算法高效的关键是其局部计算前向概率，根据路径结构，如下图所示，每次计算直接利用前一时刻计算结果，避免重复计算，减少计算量。

4.2 基本问题(2)解法

4.2.1 近似算法

选择每一时刻最有可能出现的状态，从而得到一个状态序列。这个方法计算简单，但是不能保证整个状态序列的出现概率最大。因为可能出现转移概率为0的相邻状态。

4.2.2 Viterbi算法

使用动态规划求解概率最大(最优)路径。t=1时刻开始，递推地计算在时刻t状态为i的各条部分路径的最大概率，直到计算到时刻T，状态为i的各条路径的最大概率，时刻T的最大概率即为最优路径的概率，最优路径的节点也同时得到。

如果还不明白，看一下李航《统计学习方法》的186-187页的例题就能明白算法的原理。

状态[3 3 3]极为概率最大路径。

4.3 基本问题(3)解法

4.3.1 监督学习方法

给定S个长度相同的(观测序列，状态序列)作为训练集(O1,I1)，O2,I3)，…, (Os,Is)使用极大似然估计法来估计模型参数。

转移概率αij 的估计:样本中t时刻处于状态i，t+1时刻转移到状态j的频数为αij，则

观测概率bij和初始状态概率πi的估计类似。

4.3.2 Baum-Welch算法

使用EM算法得到模型参数估计式

EM算法是常用的估计参数隐变量的利器，它是一种迭代方法，基本思想是：

(1) 选择模型参数初始值；

(2) (E步)根据给定的观测数据和模型参数，求隐变量的期望；

(3) (M步)根据已得隐变量期望和观测数据，对模型参数做极大似然估计，得到新的模型参数，重复第二步。

5 Python代码实现

5.1 Baum-Welch算法的程序实现

这里提供Baum-Welch算法的代码实现。

本来打算试一下用自己写的HMM跑一下中文分词，但很可惜，代码运行的比较慢。所以改成 模拟 三角波 以及 正弦波。

# encoding=utf8

​

import numpy as np

import csv

​

class HMM(object):

def __init__(self,N,M):

self.A = np.zeros((N,N)) # 状态转移概率矩阵

self.B = np.zeros((N,M)) # 观测概率矩阵

self.Pi = np.array([1.0/N]*N) # 初始状态概率矩阵

​

self.N = N # 可能的状态数

self.M = M # 可能的观测数

​

def cal_probality(self, O):

self.T = len(O)

self.O = O

​

self.forward()

return sum(self.alpha[self.T-1])

​

def forward(self):

"""前向算法"""

self.alpha = np.zeros((self.T,self.N))

​

# 公式 10.15

for i in range(self.N):

self.alpha[0][i] = self.Pi[i]*self.B[i][self.O[0]]

​

# 公式10.16

for t in range(1,self.T):

for i in range(self.N):

sum = 0

for j in range(self.N):

sum += self.alpha[t-1][j]*self.A[j][i]

self.alpha[t][i] = sum * self.B[i][self.O[t]]

​

def backward(self):

"""后向算法"""

self.beta = np.zeros((self.T,self.N))

​

# 公式10.19

for i in range(self.N):

self.beta[self.T-1][i] = 1

​

# 公式10.20

for t in range(self.T-2,-1,-1):

for i in range(self.N):

for j in range(self.N):

self.beta[t][i] += self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]

​

def cal_gamma(self, i, t):

"""公式 10.24"""

numerator = self.alpha[t][i]*self.beta[t][i]

denominator = 0

​

for j in range(self.N):

denominator += self.alpha[t][j]*self.beta[t][j]

​

return numerator/denominator

​

def cal_ksi(self, i, j, t):

"""公式 10.26"""

​

numerator = self.alpha[t][i]*self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]

denominator = 0

​

for i in range(self.N):

for j in range(self.N):

denominator += self.alpha[t][i]*self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]

​

return numerator/denominator

​

def init(self):

"""随机生成 A，B，Pi并保证每行相加等于 1"""

import random

for i in range(self.N):

randomlist = [random.randint(0,100) for t in range(self.N)]

Sum = sum(randomlist)

for j in range(self.N):

self.A[i][j] = randomlist[j]/Sum

​

for i in range(self.N):

randomlist = [random.randint(0,100) for t in range(self.M)]

Sum = sum(randomlist)

for j in range(self.M):

self.B[i][j] = randomlist[j]/Sum

​

def train(self, O, MaxSteps = 100):

self.T = len(O)

self.O = O

​

# 初始化

self.init()

​

step = 0

# 递推

while step

step+=1

print(step)

tmp_A = np.zeros((self.N,self.N))

tmp_B = np.zeros((self.N,self.M))

tmp_pi = np.array([0.0]*self.N)

​

self.forward()

self.backward()

​

# a_{ij}

for i in range(self.N):

for j in range(self.N):

numerator=0.0

denominator=0.0

for t in range(self.T-1):

numerator += self.cal_ksi(i,j,t)

denominator += self.cal_gamma(i,t)

tmp_A[i][j] = numerator/denominator

​

# b_{jk}

for j in range(self.N):

for k in range(self.M):

numerator = 0.0

denominator = 0.0

for t in range(self.T):

if k == self.O[t]:

numerator += self.cal_gamma(j,t)

denominator += self.cal_gamma(j,t)

tmp_B[j][k] = numerator / denominator

​

# pi_i

for i in range(self.N):

tmp_pi[i] = self.cal_gamma(i,0)

​

self.A = tmp_A

self.B = tmp_B

self.Pi = tmp_pi

​

def generate(self, length):

import random

I = []

​

# start

ran = random.randint(0,1000)/1000.0

i = 0

while self.Pi[i]

ran -= self.Pi[i]

i += 1

I.append(i)

​

# 生成状态序列

for i in range(1,length):

last = I[-1]

ran = random.randint(0, 1000) / 1000.0

i = 0

while self.A[last][i] < ran or self.A[last][i]<0.0001:

ran -= self.A[last][i]

i += 1

I.append(i)

​

# 生成观测序列

Y = []

for i in range(length):

k = 0

ran = random.randint(0, 1000) / 1000.0

while self.B[I[i]][k] < ran or self.B[I[i]][k]<0.0001:

ran -= self.B[I[i]][k]

k += 1

Y.append(k)

​

return Y

​

​

​

def triangle(length):

'''三角波'''

X = [i for i in range(length)]

Y = []

​

for x in X:

x = x % 6

if x <= 3:

Y.append(x)

else:

Y.append(6-x)

return X,Y

​

​

​

def show_data(x,y):

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, y, 'g')

plt.show()

​

return y

​

​

if __name__ == '__main__':

hmm = HMM(10,4)

tri_x, tri_y = triangle(20)

​

hmm.train(tri_y)

y = hmm.generate(100)

print(y)

x = [i for i in range(100)]

show_data(x,y)

5.2 运行结果

5.2.1 三角波

三角波比较简单，我设置N=10，扔进去长度为20的序列，训练100次，下图是其生成的长度为100的序列。

可以看出效果还是很不错的。

5.2.2 正弦波

正弦波有些麻烦，因为观测序列不能太大，所以我设置N=15，M=100，扔进去长度为40的序列，训练100次，训练的非常慢，下图是其生成的长度为100的序列。

可以看出效果一般，如果改成C的代码，并增加N应该是能模拟的。

6 HMM的实际应用举例

参考文献：

[2]《机器学习》周志华

[3]《统计学习方法》李航

延伸阅读：

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