644-最小生成树Prim普里姆算法

最小生成树Prim普里姆算法理论

最小生成树的应用场景：顶点代表城市的话，比如说修路，架设电线，网络，怎么让这几个城市连起来，而且花费是最小的，成本最低，权值是最小的，但是不允许形成环路。

第一步的U,V集合类似于迪杰斯特拉的S和U集合。
U集合放的是已经选好的点，V集合放的是未选好的点

首先选择权值最小的节点。我们选择从A开始，A-B,A-C,A-D中，权值最小的边是A-C，加入到最小生成树当中。

把C加入到U集合中，也就是选进去了。然后把剩余顶点（BDEF)的权值都和C算一下，如果谁和C的权值，比它原本和A的权值更小，就更新一下。
也就是说，B原来到A的权值是6，现在新选择了C这个节点，加入到U集合当中了，我们先计算一下C-B的权值，C-B是5，B-C的权值是5，小于B-A的权值6，所以把B这个权值更新为到C这个顶点的5，
D原来到A的权值是5，现在D-C的权值也是5，就不用更新了
E原来到A是无穷大，现在D到C是6，所以把E的权值更新一下
F原来到A是无穷大，现在F到C是4，所以把F的权值更新一下
如下图所示：

然后接着，因为选择AC到U集合中了，然后在BDEF中找权值最小的节点，就是F，然后把C-F连起来，然后把F添加到U集合中，看跟F的权值是否更小，就要更新一下V中的节点(BDE)的权值。

然后看BE谁的权值最小，连哪个节点，B的权值最小，把B添加到U结合集合中，然后更新一下权值
最后把E添加到U集合中
然后更新一下权值

OK了！！！

最小生成树Prim普里姆算法代码实现

在A中添加B和B的权值：

package com.fixbug;import java.util.LinkedList;
import java.util.Scanner;/*** 描述: 最小生成树 - 普里姆算法代码实现 - 加点法** @Author shilei*/
public class Prim {/*** 邻接表节点的类型*/static class Entry{int id;//表示顶点的idint cost;//表示到达id顶点的权值public Entry(int id, int cost) {//构造函数 this.id = id;this.cost = cost;}}/*** 邻接表数组元素类型*/static class Vertic{char name;//顶点的名字 LinkedList<Entry> adjlist;//链表 public Vertic(char name) {//构造函数 this.name = name;this.adjlist = new LinkedList<>();}}public static void main(String[] args) {//定义顶点信息char[] vertics = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'};int number = vertics.length;//定义顶点的个数 //手动输入边的信息，建立邻接表结构Scanner in = new Scanner(System.in);Vertic[] verticList = new Vertic[number];//邻接表 for (int i = 0; i < verticList.length; i++) {verticList[i] = new Vertic(vertics[i]);//添加顶点的名字进去 }//输入边的信息System.out.print("输入边的个数:");int edgeNumber = in.nextInt();in.nextLine();//把读完整数，缓冲区剩余的回车读掉System.out.println("输入边的信息:");//A B 6int minCost = Integer.MAX_VALUE;int minCostIndex = 0;//记录权值最小的顶点的下标for (int i = 0; i < edgeNumber; i++) {String line = in.nextLine();String[] infos = line.trim().split(" ");//通过空格分割一下 //获取起点和终点的编号int start = 0, end = 0;for (int j = 0; j < vertics.length; j++) {if(vertics[j] == infos[0].charAt(0)){start = j;} else if(vertics[j] == infos[1].charAt(0)){end = j;}}//获取输入的权值int cost = Integer.parseInt(infos[2]);if(minCost > cost){minCost = cost;minCostIndex = start;//记录权值最小的顶点 }//把信息添加到邻接表当中 start - end 的 cost  end - start的 costverticList[start].adjlist.add(new Entry(end, cost));verticList[end].adjlist.add(new Entry(start, cost));}//上面创建好了邻接表结构，下面开始普里姆算法代码实现final int INF = Integer.MAX_VALUE;Entry[] cost = new Entry[number];//顶点的cost boolean[] use = new boolean[number];//表示U和V集合 //U放选择好的顶点   V待选择的顶点use[minCostIndex] = true; //表示把minCostIndex选入u集合for (int i = 0; i < cost.length; i++) {cost[i] = new Entry(minCostIndex, INF);//刚开始计算的是离顶点A的，权值都初始化为INF }LinkedList<Entry> list = verticList[minCostIndex].adjlist;//遍历A的链表，看到有谁，就把谁的权值改过来 for (int i = 0; i < list.size(); i++) {cost[list.get(i).id].cost = list.get(i).cost;}//开始继续搜索后面的顶点for (int i = 1; i < number; i++) {//找到权值最小的顶点int k = -1;int min = INF;for (int j = 0; j < cost.length; j++) {if(!use[j] && cost[j].cost < min){//未选择的数组中找 min = cost[j].cost;k = j;}}//选择了第k各顶点use[k] = true;//打印最小生成树的边System.out.println(verticList[cost[k].id].name + " -> " +verticList[k].name);//把第k各节点新添加到u集合当中，更新剩下的顶点的权值信息了for (int j = 0; j < cost.length; j++) {if(!use[j]){//计算j顶点和k顶点的权值，是否比j之前记录的到某个顶点的权值更小，然后更新顶点权值list = verticList[k].adjlist;for (Entry entry : list) {if(entry.id == j){if(entry.cost < cost[j].cost){cost[j].cost = entry.cost;cost[j].id = k;}break;}}}}}}
}

C++代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;using uint = unsigned int;
const uint INF = INT_MAX;int main()
{vector<vector<uint>> graph ={{0, 6, 3, INF, INF, INF},{6, 0, 2, 5, INF, INF},{3, 2, 0, 3, 4, INF},{INF, 5, 3, 0, 2, 3},{INF, INF, 4, 2, 0, 5},{INF, INF, INF, 3, 5, 0},};// 一次把每一个顶点加入for (int k = 0; k < graph.size(); k++){// 都需要遍历邻接矩阵for (int i = 0; i < graph.size(); i++){for (int j = 0; j < graph.size(); j++){graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k]+graph[k][j]);}}}for (auto line : graph){for (auto dis : line){cout << dis << " ";}cout << endl;}// cout << graph[start][end] << endl;
}