简介

有限元法最初的概念源自用结构力学的方法解决弹性力学的问题，后来扩展到各种用微分方程描述的学科。最初的有限单元法多用于工程计算，随着计算机性能的不断增强以及对图形表现真实性的进一步需求，有限单元法也逐渐应用到了图形的领域。

连续介质力学 Continuum Mechanics

在图形学中，可变形的物体通常建模为连续介质的三维物体，其中最重要的三个量是：位移，应力，应变。

对于一维的情况，如下图：

由Hooke's law  很容易得到：

其中E是杨氏模量，描述的是材料的刚度。引入应力和应变，则式子可简化为：

下面来定义一些符号。

一个三维可变形物体主要由一个未变行状态的体（undeformed shape, rest shape,initial shape）和一些材料属性来定义.Rest shape为一个连续的三维空间子集，记为，其中的点称为点的材质坐标（material coordinates）。

当有力施加到rest shape 上的时候，x的位置移动到 p(x),因为 p(x) 定义为所有材质上的点，那么 p(x)为上的一个向量空间，记向量空间 u(x) = p(x) - x 为位移域（displacement field）.

应变 Strain

为了在三维空间中使用Hooke 定律，需要用新的方法来表示。在大部分情况下，变形体内的应变都不是一样的。比如一个一端固定的悬臂梁，上侧是受拉，下侧则是受压。则应变其实是材料坐标的函数，记为，如果物体未发生形变，应变就是0，单纯的空间位移无法引起形变，所以应变也为0，因此应力其实是由位移域决定的。在三维空间中，位移域有三个部分：，每一个分量都可以对x,y,z方向微分。应变就不是一个单值了，这个非常重要，因为在一个三维物体中的一个点，可以在一个方向受压的同时，在另一个方向受拉。

应变可以表示为一个 3*3 空间上的张量（tensor）：

有两种从位移域计算应变张量的方法：

前者称为格林非线性应变张量，后者是科希线性应变张量。科希张量少了后面的二次部分，无法获取旋转量。位移域的梯度矩阵如下：

逗号后面的字母表示对其你偏导，求出梯度矩阵后很容易得到应变张量。

应力 Stress

应力指的是单位面积的受力，和应变一样，应力也可用一个3阶张量表示：

求得应力之后，想要求得某个面上的手里，则还需要知道这个面的法向，然后通过下面的公式求得：

本构关系

本构关系表示的应力和应变之间的关系。在三维空间中，Hooke 定律表示为：

在这里应力和应变都是3阶的张量，对与各向同性的材料（isotropic materials）,Hooke  定律有：

这里的 v 是杨氏模量，取值范围是[0...1/2), 描述固体材料抵抗形变能力的物理量。

动力方程 Equation of Motion

将牛顿第二定律运用到弹性材料中的质点，有

由于我们不知道整个物体的质量，对与一个单位体积的立方体dxdydz，化为单位体积质量（也就是密度）的形式：

这里的 f(x) 指的是作用在x的 内力+外力合。

现在要做的是计算内力。对于一个变形体内的一个单位立方体dxdydz，垂直X方向的应力如下

应力是单位面积的力，则应力乘以面积就可以得到内力，再除以体积则得到x方向内力合为：

逗号表示 空间导数。

则由内部应力产生的内力合可表示为：

则完整的偏微分方程可以化为：

通过这个方程，我们就可以通过求出内力外力和，继而求出加速度，然后更新位置。

整理一下这个求解方法的pipeline：

1.密度和外力已知；

2.定义材料坐标 X 和世界坐标 P；

3.计算位移域 u =p-x;

4.计算位移域梯度，然后应变张量就可以获得（格林应变张量或者柯希应变张量）；

5.根据Hooke's  law 计算应力域；

6.根据牛顿第二定律计算出加速度；

7.利用显示或者隐式积分，更新P(x)。

这里还有两个概念需要说明一下。

材料线性：材料的应力和应变关系符合简单的Hooken law.(线性关系)

几何线性：应变张量使用的是柯希张量。

材料线性+集合线性得到的结果是动力学偏微分方程线性，偏微分方程线性的好处就是好求解。在deformate object 模拟中，大部分都是假设成线性的，这样能够使计算简单，获得更快的计算速度，但是对于大变形或者旋转，集合上的线性简化会引起一些很怪异的现象，这在后面会介绍一些解决的方法。

有限单元离散

在上面得到的偏微分方程中，p是一个连续向量空间，怎么描述物体中点位移会非常困难，因为物体有无限的质点，而我们需要求解解析解。

有一个方法可以无限近似的方式逼近真实解，这个方法的核心思想就是Finite Element Method（FEM），在力学中称为有限单元法。通过一些算法，将deformate object 的体mesh化分为网格单元mesh，网格单元之间不会有重叠，对于每一个单元，向量空间都可以根据单元顶点的位置写出解析式。

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一个球体剖分的例子：

剖分后：

常应变四面体网格 Constant Strain Tetrahedral Meshes

在有限单元法中，最简单的方法就是用四面体作为有限单元，这样的网格mesh称为四面体mesh。

在单元中，如果形变域为一个常量的话会更加简单，但是这样会导致应力为0，然后就无法模拟变形物体了。

对于如上图的一个四面体单元，x0,x1,x2,x3是在完全不受外力情况下的位置（rest shape），在形变状态下的位置为p0,p1,p2,p3，单纯的平移变换并不会产生内力，所以假设x0 = p0 = 0；

对与四面体中的某一点x,可以用重心坐标插值来表示：

变形之后，这一点的重心坐标是不变的，可以记为：

两式连立，消去b，得到

这是一个线性关系，[x1,x2.x3]矩阵的逆可以事先求出。

由于p(x)是线性的，所以有

又位移域 u = p-x，则

使用格林应变张量

再利用Hooken law，求出应力，然后乘以面积就可以得到内力。

例如，对于面(0,1,2)面上方的力如下：

三角形的两个向量叉乘得到三角形的面积。

最后，我们只要吧面力离散到三角形的各个顶点就可以了。

就如我们看到的，整个过程都非常简单，只是根据之前的一个状态不断地去计算各种变量，同时我们可以很轻易的将Hooken law 替换成其他的非线性模型。

下面给出整个模拟过程的伪代码.

一行行解释。

1-4：对有限元mesh中的所有单元进行初始化，初始位移和rest shape重合。

5-7：预处理每个单元的Xi；

8-11：这里开始主模拟循环。每次循环开始都要重新设置顶点上的力，初始设置为外力和；

13-14：计算出位移梯度；

15-16：用格林应变张量计算出应力；

17-22：计算单元中每个面上的力，然后将力离散到面上的每一个顶点；

24-26：到这一步，单元上的上的每一个顶点上的力都已经搞定了，接下来是更新每个点的位置；

28：更新显示。

算法的流程很像Mass - Spring - System. 虽然力的计算很耗时，但算法并没有因此更难理解或实现。

对于更稳定的模拟，一定要使用隐式积分。

参考

SIGGRAPH 2008 Course - Real Time Physics Class Notes

SIGGRAPH 2012 Course - FEM Simulation of 3D Deformable Solids: A practitioner’s guide to theory, discretization and model reduction