java spfa_SPFA算法简介
SPFA算法简介
Author: nex3z
2015-08-23
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)算法是Bellman-Ford的一个增强版,SPFA算法在随机稀疏图上表现良好,尤其适用于带负权边的情况,但在最差情况下效率和Bellman-Ford一样糟糕。如果没有负权边,选择Dijkstra算法更佳。
SPFA算法的基本思想和Bellman-Ford一样,对于有V个顶点和E条边的图,Bellman-Ford需要V-1次循环,每次循环里都要遍历E条边,但只有在发生松弛时才会更新距离,浪费了大量操作。SPFA算法维护了一个存储顶点的队列,只有当某条边发生松弛时,才将该边的终点加入队列,直到队列为空,即无法再松弛时结束。
Wiki上给出SPFA算法的伪代码如下:procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s)
for each vertex v ≠ s in V(G)
d(v) := ∞
d(s) := 0
offer s into Q
while Q is not empty
u := poll Q
for each edge (u, v) in E(G)
if d(u) + w(u, v) < d(v) then
d(v) := d(u) + w(u, v)
if v is not in Q then
offer v into Q
算法的输入为图G和起点s,算法流程如下:
初始化起点到其他点的距离d(v) (v != s)为无穷,初始化起点到起点的距离d(s) 为0。
将起点s入队。
队不为空时,重复操作:
从队中取出一个顶点u;
遍历所有以u为起点的边,以u为起点的边(u, v)的权值为w(u, v) ,如果的边(u, v)能够使起点到v的距离缩短,即从起点先到u再由边(u, v)到v的距离,短于起点直接到v的距离(d(u) + w(u, v) < d(v) ),则发现了一条更短的从起点到达v的路径,更新起点到v的距离d(v) 为d(u) + w(u, v) ,并将点v入队。
上面的算法可以求得单源最短路径,但无法判断负权环的情况。如果存在负权环,负权环上的点可以进行无限的松弛,不停地入队,导致死循环。要判断负权环,只需加入一个额外的数组cnt ,cnt(u) 记录了点u入队的次数,如果u入队的次数超过顶点总数,则说明有负权环。因为对于一个有V个顶点的图,其中两点之间的最短路径最多包含V-1条边,松弛次数超过顶点数,表明最短路径上包含了重复的边,这正是由负权环导致的。修改后的伪代码如下所示:procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s)
for each vertex v ≠ s in V(G)
d(v) := ∞
cnt(v) := 0
d(s) := 0
offer s into Q
while Q is not empty
u := poll Q
cnt(u) := cnt(u) + 1
if cnt(u) > V
error "Graph contains a negative-weight cycle"
for each edge (u, v) in E(G)
if d(u) + w(u, v) < d(v) then
d(v) := d(u) + w(u, v)
if v is not in Q then
offer v into Q
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