1. 完全背包问题的形式化描述

完全背包问题是一类经典的DP(Dynamic Programming，动态规划)问题，问题描述如下：

有n种重量和价值分别为wi，vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值vi总和的最大值。值得注意的是，每种物品都可以选取无限次。

假设第i种物品选择了ki个，ki∈N，则

目标函数为：

max{Σkivi}

约束条件为：

$ \sum k_i w_i \leq W $

2. 完全背包问题的平凡解法

首先对所有物品种类进行1~n的编号。

设函数F(i,j)，其意义为：从编号1~i的种类中选取物品，装入最大允许重量为j的背包中，所能获得的最大总价值是F(i,j)。

首先考虑基准情况：选0个物品，即i=0，这时：

F(i,j) = F(0,j) = 0

对于子问题F(i,j)的求解，其最优解的决策依赖于涉及1~(i-1)类物品的子问题F(i-1,j)。

当前要做出决策，需选k个i类物品(k可以为0)，根据物品的重量分为如下两种情况：

1。若物品重量wi不超过背包的允许重量j，则可分别选0个、...、k个该物品，kwi都不超过允许重量j。最后再从所有选择结果中挑选最大总价值，作为当前最优解。

F(i,j) = max{ F(i-1,j - k × wi) + k × vi| (k>=0，kwi<=j)}

2。若物品重量wi超过背包的允许重量j，则无法放入当前物品：

F(i,j) = F(i-1,j)

上述两个递推式揭示了当前状态与上一状态之间的转移关系。加上基准情况，我们发现算法已经封闭了，可以编程实现。

核心程序

输入：物品种类数n，背包最大允许重量t，第i种物品重量w[i]、价值v[i]。

输出：最大价值dp[n][t]。

初始化：清零dp数组

for(int i=1;i<=n;++i) {for(int j=0;j<=t;++j) {if(j

dp[i][j]=dp[i-1][j];

}else{for(int k=0;k*w[i]<=j;++k) {

dp[i][j]=max(dp[i][j], max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]));

}

}

}

}

可以看出渐近复杂度O(n×t×w)，为三次复杂度，因此该程序能解决的问题规模非常有限。但正如标题所说的，平凡解法还有较大可优化的空间。

3. 利用数据相关性——时间复杂度优化

利用循环间数据相关性优化算法是一种常见的技巧。例如“最大子段和”问题的蛮力解法中，利用数据相关性可以将O(n^3)的复杂度直接优化为O(n^2)。同理，在求Σnx=1 x!(连续阶乘和)问题中，利用数据相关性可将O(n^2)直接优化为O(n)。这些例子展现了该技巧的生命力。

回到我们的DP解法，观察for(j)与for(k)循环，猜测两个循环间存在数据相关性，例如：F(i-1,j)中选择k个物品的情况，与F(i-1,j-wi)中选择k-1个情况完全相同，推测F(i-1,j)的递推中k>=1的部分在计算F(i-1,j-wi)时就已经求出了，这意味着k循环除了第一趟执行对结果有贡献外，后续执行只是在重复之前已经完成的计算，有希望将k循环合并到j循环中。

为了验证这种想法，推导如下：

题设：

F(i,j) = max{F(i-1,j - k × wi) + k × vi|(k>=0)}  ……①

考虑当k==0时，F(i-1,j - k × wi) + k × vi退化为F(i-1,j)，所以

F(i,j) = max(F(i-1,j), max{F(i-1,j - k × wi) + k × vi|(k>=1)} )

为了验证之前的猜测，将k代换为k+1。问题等价变形到k>=0的情况：

F(i,j) = max(F(i-1,j), max{F(i-1,j - (k+1) × wi) + (k+1) × vi|(k>=0)})

= max(F(i-1,j), max{F(i-1,(j - wi)- k × wi) + k × vi+ vi|(k>=0)} )    ……②

结论仍不明显，将上式②下划线部分提到max{}后面，发现：

F(i,j) = max(F(i-1,j), max{F(i-1,(j - wi)- k × wi) + k × vi|(k>=0)} +vi)

对比①知，上式蓝色部分恰等价于F(i, j - wi)，这基本验证了我们的想法。

F(i,j) = max(F(i-1,j), F(i, j - wi) + vi)

这便是最终的表达式，可以看到成功消去了k。

根据推导的状态转移方程编写程序，时间复杂度直接从三次降至了二次。

需要注意，因为F(i-1,j)依赖于F(i-1,j-wi)的计算结果，所以j必须递增枚举，才能保证构造的正确性。

for(int i=1;i<=n;++i) {for(int j=0;j<=t;++j) {if(j

dp[i][j]=dp[i-1][j];

}else{

dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]);

}

}

}

4. 降低dp数组维度——空间复杂度优化

优化前，dp数组的空间复杂度是O(n×t)的。

注意到dp数组中，dp[i]行的各元素值只依赖于前一行dp[i-1]，而不依赖于dp[i-2]、……、dp[0]行。这启发我们只存储一行dp数组，然后在该行“原地”更新数据。

仍然有两种情况：

1。对于j

2。对于其它非1。的情况，需要更新dp行，dp[j]=max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]); 加粗部分反映了“原地”更新策略。

for(int i=1;i<=n;++i) {for(int j=w[i];j<=t;++j) {

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

}

}

因为情况1。的存在，j的取值必须以w[i]为区间起点。

值得注意的是，j循环按递增顺序枚举，这与我们在第3节中得出的结论一致。

经过优化，空间复杂度降至了O(n))。

5. 结论

首先描述了完全背包问题，然后分析了最直观的trivial解法，由平凡解法发现循环间的数据相关性，推导出优化后的状态转移方程，推导结论使算法时间复杂度降至O(n×t)。接下来从另一角度——空间复杂度分析dp数组降维优化，使空间复杂度降低至O(n)。综合时空两个方面，得出了DP求解此类问题的优化方法。