《离散数学及其应用》【张清华版】 第四章习题总结
文章目录
- 8. 设R1、R2R_1、R_2R1、R2为集合A上的关系，证明:
- 8.1
- 8.2
- 12. 设R1,R2R_1,R_2R1,R2为集合A上的任意两个关系，判断下列结论是否成立，若成立，请证明之，若不成立，请举反例说明
- 12.1
- 12.2
- 12.3
- 12.4
- 12.5
- 15. 设R1,R2R_1,R_2R1,R2为集合A上的两个关系，且R1⊆R2R_1 \subseteq R_2R1⊆R2，试证:
- 15.1
- 15.2
- 15.3
- 33. 设A，B都是可数集合，证明:
- 33.1
- 33.2
- 写在最后
8. 设R1、R2R_1、R_2R1、R2为集合A上的关系，证明:
- (R1∪R2)−1=R1−1∪R2−1(R_1\cup R_2)^{-1} = R_1^{-1}\cup R_2^{-1}(R1∪R2)−1=R1−1∪R2−1
- (R1∩R2)−1=R1−1∩R2−1(R_1 \cap R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cap R_2^{-1}(R1∩R2)−1=R1−1∩R2−1
解答:
8.1
∀<x,y>∈(R1∪R2)−1⇔<y,x>∈R1∪R2⇔<y,x>∈R1∨<y,x>∈R2⇔<x,y>∈R1−1∨<x,y>∈R2−1⇔<x,y>∈R1−1∪R2−1\begin{array}{l} \forall <x,y> \in (R_1\cup R_2)^{-1} \\ \Leftrightarrow <y,x> \in R_1 \cup R_2 \\ \Leftrightarrow <y,x> \in R_1 \lor <y,x> \in R_2\\ \Leftrightarrow <x,y> \in R_1^{-1} \lor <x,y> \in R_2 ^{-1}\\ \Leftrightarrow<x,y> \in R_1^{-1} \cup R_2^{-1} \end{array} ∀<x,y>∈(R1∪R2)−1⇔<y,x>∈R1∪R2⇔<y,x>∈R1∨<y,x>∈R2⇔<x,y>∈R1−1∨<x,y>∈R2−1⇔<x,y>∈R1−1∪R2−1
8.2
∀<x,y>∈(R1∩R2)−1⇔<y,x>∈R1∩R2⇔<y,x>∈R1∧<y,x>∈R2⇔<x,y>∈R1−1∧<x,y>∈R2−1⇔<x,y>∈R1−1∩R2−1\begin{array}{l} \forall <x,y> \in (R_1\cap R_2)^{-1} \\ \Leftrightarrow <y,x> \in R_1 \cap R_2 \\ \Leftrightarrow <y,x> \in R_1 \land <y,x> \in R_2\\ \Leftrightarrow <x,y> \in R_1^{-1} \land <x,y> \in R_2 ^{-1}\\ \Leftrightarrow<x,y> \in R_1^{-1} \cap R_2^{-1} \end{array} ∀<x,y>∈(R1∩R2)−1⇔<y,x>∈R1∩R2⇔<y,x>∈R1∧<y,x>∈R2⇔<x,y>∈R1−1∧<x,y>∈R2−1⇔<x,y>∈R1−1∩R2−1
12. 设R1,R2R_1,R_2R1,R2为集合A上的任意两个关系，判断下列结论是否成立，若成立，请证明之，若不成立，请举反例说明
- 若R1、R2R_1、R_2R1、R2自反，则R1∩R2R_1 \cap R_2R1∩R2也自反
- 若R1、R2R_1、R_2R1、R2反自反，则R1∪R2R_1\cup R_2R1∪R2 也反自反
- 若R1、R2R_1、R_2R1、R2对称，则R1−R2R_1 - R_2R1−R2也对称
- 若R1、R2R_1、R_2R1、R2反对称，则R1−R2R_1 - R_2R1−R2也反对称
- 若R1、R2R_1、R_2R1、R2传递，则R1∘R2R_1 \circ R_2R1∘R2也传递
解答:
12.1
∵∀x∈A且R1反自反⇔∀<x,x>∈R1∀x∈A且R2反自反⇔∀<x,x>∈R2∴∀<x,x>∈R1∩R2∴R1∩R2自反\begin{array}{l} \because \\ \forall x \in A 且 R_1反自反 \Leftrightarrow \forall <x,x> \in R_1\\ \forall x \in A 且 R_2反自反 \Leftrightarrow \forall <x,x> \in R_2 \\ \therefore \forall <x,x> \in R_1 \cap R_2\\ \therefore R_1 \cap R_2自反 \end{array} ∵∀x∈A且R1反自反⇔∀<x,x>∈R1∀x∈A且R2反自反⇔∀<x,x>∈R2∴∀<x,x>∈R1∩R2∴R1∩R2自反
12.2
反证法
若∃x∈A,有s.t.<x,x>∈R1∪R2⇒<x,x>∈R1∨<x,x>∈R2与R1,R2反自反相矛盾故可证:R1、R2反自反，则R1∪R2也反自反\begin{array}{l} 若\exists x \in A, 有 \\ s.t. <x,x> \in R_1 \cup R_2 \\ \Rightarrow <x,x> \in R_1 \lor <x,x> \in R_2 \\ 与R_1,R_2反自反相矛盾 \\ 故可证: \\ R_1、R_2反自反，则R_1\cup R_2也反自反 \end{array} 若∃x∈A,有s.t.<x,x>∈R1∪R2⇒<x,x>∈R1∨<x,x>∈R2与R1,R2反自反相矛盾故可证:R1、R2反自反，则R1∪R2也反自反
12.3
<x,y>∈R1−R2⇒<x,y>∈R1∧<x,y>∉R2⇒<y,x>∈R1∧<y,x>∉R2(R1、R2对称)⇒<y,x>∈R1−R2\begin{array}{l} <x,y> \in R_1 - R_2 \\ \Rightarrow <x,y>\in R_1 \land <x,y> \notin R_2 \\ \Rightarrow <y,x> \in R_1 \land <y,x> \notin R_2 (R_1、R_2对称)\\ \Rightarrow <y,x> \in R_1 - R_2 \end{array} <x,y>∈R1−R2⇒<x,y>∈R1∧<x,y>∈/R2⇒<y,x>∈R1∧<y,x>∈/R2(R1、R2对称)⇒<y,x>∈R1−R2
12.4
12.3,12.4举一反例证明即可
R1={<1,2>,<3,4>}(反对称)R2={<2,3>,<4,1>}(反对称)R1∘R2={<1,3>,<3,1>}(对称)故结论不成立\begin{array}{l} R_1 = \{< 1, 2> , < 3, 4>\}(反对称)\\ R_2 = \{<2,3>,<4,1>\}(反对称)\\ R_1 \circ R_2 = \{<1,3>,<3,1>\}(对称)\\ 故结论不成立 \end{array} R1={<1,2>,<3,4>}(反对称)R2={<2,3>,<4,1>}(反对称)R1∘R2={<1,3>,<3,1>}(对称)故结论不成立
12.5
R1={<1,2>,<3,4>}(传递)R2={<2,3>,<4,1>}(传递)R1∘R2={<1,3>,<3,1>}(非传递)故结论不成立\begin{array}{l} R_1 = \{< 1, 2> , < 3, 4>\}(传递)\\ R_2 = \{<2,3>,<4,1>\}(传递)\\ R_1 \circ R_2 = \{<1,3>,<3,1>\}(非传递)\\ 故结论不成立 \end{array} R1={<1,2>,<3,4>}(传递)R2={<2,3>,<4,1>}(传递)R1∘R2={<1,3>,<3,1>}(非传递)故结论不成立
15. 设R1,R2R_1,R_2R1,R2为集合A上的两个关系，且R1⊆R2R_1 \subseteq R_2R1⊆R2，试证:
- r(R1)⊆r(R2)r(R_1) \subseteq r(R_2)r(R1)⊆r(R2)
- s(R1)⊆s(R2)s(R_1) \subseteq s(R_2)s(R1)⊆s(R2)
- t(R1)⊆t(R2)t(R_1) \subseteq t(R_2)t(R1)⊆t(R2)
解答:
15.1
r(R1)=R1∪IA⊆R2∩IA=r(R2)\begin{array}{l} r(R_1) = R_1 \cup I_A \subseteq R_2 \cap I_A = r (R_2) \end{array} r(R1)=R1∪IA⊆R2∩IA=r(R2)
15.2
R1⊆R2⇒R1−1⊆R2−1⇒R1∪R1−1⊆R2∪R2−1⇒s(R1)⊆s(R2)\begin{array}{l} R_1 \subseteq R_2 \\ \Rightarrow R_1^{-1} \subseteq R_2^{-1}\\ \Rightarrow R_1 \cup R_1^{-1} \subseteq R_2 \cup R_2^{-1} \\ \Rightarrow s(R_1) \subseteq s(R_2) \end{array} R1⊆R2⇒R1−1⊆R2−1⇒R1∪R1−1⊆R2∪R2−1⇒s(R1)⊆s(R2)
15.3
t(R1)=⋃i=0∞R1i⇒∀<x,y>∈R1i=R1i−1∘R1⇒∃t1∈As.t.<x1,t1>∈R1i−1∧<t1,y>∈R1⇒∃t1,t2∈As.t.<x1,t1>∈R1i−2∧<t1,t2>∈R1∧<t2,y>∈R1⇒∃t1,t2,t3...ti−1∈As.t.<x1,t1>∈R1∧<t1,t2>∈R1∧<t2,t3>∈R1∧...<ti−1,y>∈R1(共i项)∵R1⊆R2,t(R2)=⋃i=0∞R2i⇒∃t1,t2,t3...ti−1∈As.t.<x1,t1>∈R2∧<t1,t2>∈R2∧<t2,t3>∈R2∧...<ti−1,y>∈R2(共i项)⇒<x,y>∈R2i⇒R1i⊆R2i⇒t(R1)⊆t(R2)\begin{array}{l} t\left( R_1 \right) \,\,=\,\,\bigcup_{i\,\,=\,\,0}^{\infty}{R_{1}^{i}} \\ \Rightarrow \forall<x,y> \in R_{1}^{i} = R_{1}^{i-1} \circ R_1 \\ \Rightarrow \exists t_1 \in A \quad s.t. <x_1, t_1> \in R_{1}^{i-1} \land <t_1, y> \in R_1 \\ \Rightarrow \exists t_1,t_2 \in A \quad s.t. <x_1, t_1> \in R_{1}^{i-2} \land <t_1, t_2> \in R_1 \land <t_2, y> \in R_1 \\ \Rightarrow \exists t_1,t_2,t_3...t_{i-1} \in A \quad s.t. <x_1, t_1> \in R_{1} \land <t_1, t_2> \in R_1 \land <t_2, t_3> \in R_1 \land ... <t_{i-1}, y> \in R_1 (共i项) \\ \\ \because R_1 \subseteq R_2 , \quad t\left( R_2 \right) \,\,=\,\,\bigcup_{i\,\,=\,\,0}^{\infty}{R_{2}^{i}} \\ \\ \Rightarrow \exists t_1,t_2,t_3...t_{i-1} \in A \quad s.t. <x_1, t_1> \in R_{2} \land <t_1, t_2> \in R_2 \land <t_2, t_3> \in R_2 \land ... <t_{i-1}, y> \in R_2 (共i项) \\ \Rightarrow <x,y> \in R_{2}^{i} \\ \Rightarrow R_{1}^{i} \subseteq R_{2}^{i} \\ \Rightarrow t(R_1) \subseteq t(R_2) \\ \\ \\ \end{array} t(R1)=⋃i=0∞R1i⇒∀<x,y>∈R1i=R1i−1∘R1⇒∃t1∈As.t.<x1,t1>∈R1i−1∧<t1,y>∈R1⇒∃t1,t2∈As.t.<x1,t1>∈R1i−2∧<t1,t2>∈R1∧<t2,y>∈R1⇒∃t1,t2,t3...ti−1∈As.t.<x1,t1>∈R1∧<t1,t2>∈R1∧<t2,t3>∈R1∧...<ti−1,y>∈R1(共i项)∵R1⊆R2,t(R2)=⋃i=0∞R2i⇒∃t1,t2,t3...ti−1∈As.t.<x1,t1>∈R2∧<t1,t2>∈R2∧<t2,t3>∈R2∧...<ti−1,y>∈R2(共i项)⇒<x,y>∈R2i⇒R1i⊆R2i⇒t(R1)⊆t(R2)
33. 设A，B都是可数集合，证明:
- A∪BA \cup BA∪B是可数集合
- A⊕BA \oplus BA⊕B是可数集合
解答:
33.1
设A={a1,a2,a3...}为可数集合∵B是可数集合且可数集合的子集亦是可数集∴B−A={b1,b2,b3,...}为可数集合∴A∪B=A∪(B−A)为可数集合下面构造A∪B到自然数集N的映射:∵A∪B={a1,a2,a3,...b1,b2,b3,...我们构造f将ai映射到自然数集中的奇数，将bi映射到自然数集中的偶数，则有:f(x)={2i−1,x=ai2i−2,x=bi,(i∈N∗)可构造f:A∪B→NA∪B为可数集合\begin{array}{l} 设 A= \{a_1,a_2, a_3 ...\} 为可数集合\\ \because B 是可数集合\\ 且 \quad 可数集合的子集亦是可数集\\ \therefore B - A = \{b_1, b_2, b_3, ...\} 为可数集合\\ \therefore A\cup B = A \cup(B-A) 为可数集合\\ \\ 下面构造A\cup B到自然数集N的映射:\\ \\ \because A\cup B\,\,=\,\,\begin{cases} a_1, a_2, a_3, ...\\ b_1, b_2, b_3, ...\\ \end{cases}\\ \\ 我们构造f将a_i映射到自然数集中的奇数，将b_i映射到自然数集中的偶数，则有:\\ \\ f\left( x \right) \,\,=\,\,\begin{cases} 2i\,\,-\,\,1, x\,\,=\,\,a_i\\ 2i\,\,-\,\,2, x\,\,=\,\,b_i\\ \end{cases}\,\,, \left( i\in N^* \right) \\ \\ 可构造 f:A\cup B\rightarrow N\\ A\cup B 为可数集合 \end{array} 设A={a1,a2,a3...}为可数集合∵B是可数集合且可数集合的子集亦是可数集∴B−A={b1,b2,b3,...}为可数集合∴A∪B=A∪(B−A)为可数集合下面构造A∪B到自然数集N的映射:∵A∪B={a1,a2,a3,...b1,b2,b3,...我们构造f将ai映射到自然数集中的奇数，将bi映射到自然数集中的偶数，则有:f(x)={2i−1,x=ai2i−2,x=bi,(i∈N∗)可构造f:A∪B→NA∪B为可数集合
33.2
∵A∪B⊆A⊕B且A∪B是可数集合(可数集合的子集亦是可数集)∴A⊕B是可数集合\begin{array}{l} \because A \cup B \subseteq A \oplus B \\ 且 A \cup B 是可数集合\\ (可数集合的子集亦是可数集) \\ \therefore A \oplus B是可数集合 \end{array} ∵A∪B⊆A⊕B且A∪B是可数集合(可数集合的子集亦是可数集)∴A⊕B是可数集合
为了让读者看清楚，用Latex公式打了一个下午 T-T，创作不易，点个赞再走呗
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