一、符号积分

符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：

int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例：

求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：

>>syms x y z %定义符号变量

>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式

F2 =

1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解

>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解

VF2 =

224.92153573331143159790710032805

二、数值积分

1.数值积分基本原理

求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

2.数值积分的实现方法

基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

例：

求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。

>>fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数fname

>>Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法

Isim =

0.746824180726425

IL=quadl(fun,0,1) %牛顿－柯特斯法

IL =

0.746824133988447

三、梯形法求向量积分

trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。

>>d=0.001;

>>x=0:d:1;

>>S=d*trapz(exp(-x.^2))

S=

0.7468

或：

>>format long g

>>x=0:0.001:1; %x向量，也可以是不等间距

>>y=exp(-x.^2); %y向量，也可以不是由已知函数生成的向量

>>S=trapz(x,y); %求向量积分

S =

0.746824071499185

int的积分可以是定积分，也可以是不定积分(即有没有积分上下限都可以积)可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3

quad是数值积分，它只能是定积分(就是有积分上下限的积分)，它是通过simpson数值积分来求得的(并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的)。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3

int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。

[FROM: 58.192.116.*]

对于y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))，被积函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下：

>> syms x

>>y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))

>>s=int(y,x,0,inf)

y =

exp((-x^2-x-1)/(1+x))

Warning: Explicit integral could not be found.

>> In sym.int at 58

s =

int(exp((-x^2-x-1)/(1+x)),x = 0 .. Inf)

只有通过数值计算解法

>> dx=0.05; %采样间隔

>>x=0:dx:1000; %数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点，只要终值足够大，精度不受影响

>>y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));

>>S=dx*cumtrapz(y); %计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得

>>S(end)

ans =

0.5641 %所求定积分值

或进行编程，积分上限人工输入，程序如下：

%表达式保存为函数文件

function y=fxy(x)

y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x)); % save fxy.m

% main --------主程序

clear,clc

h=.001;p=0;a=0;

R=input('请输入积分上限，R=')

while a

p=p+(fxy(a)+fxy(a+h))*h/2;

a=a+h;

end

p=vpa(p,10)

运行主程序后得到结果：

请输入积分上限，R=1000

R =

1000

p =

.5641346055

其它结果如下：

0-1: int=.3067601686

0-2: int=.4599633159

0-5: int=.5583068217

0-10: int=.5640928975

0-100: int=.5641346055

0-1000: int=.5641346055

[FROM: 211.65.33.*]

在积分函数中,sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3通过函数参数输入,如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了，可以求三重积分了。

完整函数程序：

function Fn(n1,n2,n3)

if n1==0

e1=1;

else if n1>0

e1=2;

end

end

if n2==0

e2=1;

else if n2>0

e2=2;

end

end

if n3==0

e3=1;

else if n3>0

e3=2;

end

end

F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);

S=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5) %求三重数值积分

将以上代码保存为Fn.m程序文件，即m文件，然后运行：

>> Fn(1,1,1)

S =

866.9655

[FROM: 211.65.33.*]

三重积分请用三重积分函数triplequad，与三个积分上下限对应，即x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)

其中被积函数F用"匿名函数"来表达，即

F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);

如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了。

完整函数程序：

function Fn(n1,n2,n3)

if n1==0

e1=1;

else if n1>0

e1=2;

end

end

if n2==0

e2=1;

else if n2>0

e2=2;

end

end

if n3==0

e3=1;

else if n3>0

e3=2;

end

end

F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);

x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)

>> Fn(1,1,1)

x =

866.9655

[FROM: 58.192.116.*]