社交网络上的影响传播模型

本文试图对社交网络上的事件传播效果进行理论建模，并研究如何最大化传播效果这一算法问题。

1、概述介绍

首先，我们来看社交网络的基本模型定义。所谓社交网络，在数学上是这么定义的：

1) N个顶点，{1，2，……N}

2) 它们构成一个有向图，边上有权重，权重矩阵为R，其中 $R_{ij}$ 表示顶点 i 被顶点 j 影响的程度。如果 $R_{ij}=0$ ，那么就意味这顶点 i 不受j影响（比如 i 和 j 之间没有连边、i 没有关注 j 等）。

社交网络的一个例子：下面的图来自[Adamic-Adar 2003]，表示436个HP Lab研究员之间的社交网络，两个人之间连边当且仅当他们有过至少6封email交流。

接下来，我们来描述在社交网络上事件营销的”波纹效应“是如何进行的。一般来说，这个过程可以按下面的方式来理解：

1) 初始化：会有一些顶点被选定，在一定触发（激励）条件下，做了某种行为。比如事件营销时，会选择一些大号发帖，这好比向湖里投几颗石头。

2) 网络传播：网络中的某个顶点，一旦发现他的邻居们触发了这个"行为"，达到一定程度，这个人也会触发一定"行为"。这现象叫做这个顶点被邻居的行为转播影响到了。

那么我们研究的问题是什么呢？显而易见的，在不同的顶点上做这样的初始化触发行为，最终在网络上达到的传播效果是不同的。所以，我们的目标是在一定的资源限制下（找大号发软文都是要给很大一笔费用的），找到传播效果最好的初始化顶点集合（也叫种子集）。

对这个问题，当然是已经有一些经典的模型和研究成果了。在这些研究里，所谓的”行为“一般是一个0/1变量？比如：感染传染病、转发软文、购买新产品、相信谣言等。对网络传播的模型，他们也重点放在某个顶点采取这个行为的概率。直观上说，一个人是否采取行为，和邻居有很大关系。这个关系定量的趋势有大概下面两种：边际递减和突变式。

相应的，找到种子集最大化传播效果这个问题也有截然不同的结果。对于被影响概率随被影响邻居数量边际递减的情况，存在常数近似比的算法。（http://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/kdd03-inf.pdf 这篇论文给出了模型和达到最优解63%的一个贪心算法）；对第二种情况，却很难计算近似解。

2、我们的模型

ok，说了那么多，回到这篇文章要解决的问题。我们希望每个顶点的行为不局限于0/1变量，而是一个可充分量化的变量。我们的新传播模型有下面几个特点：

1) 采取的行为是可充分量化的：不再非0即1，可以是一个实数。我们用 $B_i$ 表示顶点 i 采取的行为量。

2) 各个邻居的影响是独立的：顶点 i 会受到邻居 j 的影响而采取一定行为量，假设这个量用 $B_{ij}=B_j*R_{ij}$ 表示，其中 $R_{ij}$ 是描述 i 受 j 影响程度的边(j,i)的权重。这个影响是独立的，不受其他邻居 j' 的干扰。

3) 影响可简单线性叠加： $B_i=/sum_j B_{ij}=/sum_j B_j*R_{ij}$

必须说明的是，种子集合中的顶点，我们一般认为不再受邻居的影响而改变行为了。

对这个新的模型，我们首先来看一下给定一个种子集合S，如何定义和计算它的传播影响力。给定S后，S中这些顶点触发一定的初始行为量 $B_S$ ，不断刺激着邻居，并通过网络不断迭代传播。最终这个过程会收敛到一个稳定状态。所谓稳定状态，就是对非S内的顶点集合 $S^c$ ，存在一个行为量向量 $B_{S^c}$ ，将 $B_S$ 和 $B_{S^c}$ 拼接起来的行为量向量用B表示。那么在稳定状态下，使得对所有 $S^c$ 内的顶点都满足：

$i/in S^c, B(i)=/sum_j R_{ij}B(j)$

集合S的传播影响力用F(S)表示，那么：

$F(S)=/sum_{i /in S^c}B(i)$

（待续）

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