综述： 通信雷达一体化中的信号处理
前言
本文主要是介绍一篇通信雷达一体化领域的最新综述： An Overview of Signal Processing Techniques for Joint Communication and Radar Sensing [1] ， 这篇paper发表于今年的2月份， 目前在arxiv上已有预印版本。 正如题目所描述的那样， 聚焦于 通信雷达一体化中的信号处理相关问题。
通信雷达一体化
我们从一个简单的例子开始对通信雷达一体化的基本介绍 [2]。
图中的基站实现了两部分功能：
- 雷达感知功能： 基站的发送天线 (Tx) 向 感知目标 （图中的Target, 汽车和无人机） 发射信号， 并通过 接收天线 (Rx) 接收 由 目标反射回来的 信号 (echo)， 再对 echo 信号 进行信号处理从而估计待测数据， 如入射角和到达角。
- 通信功能： 基站通过 Tx 向多个用户 （图中的 User kkk） 发送信号， 实现通信。 需要注意的是， 雷达感知的目标和通信对象不一定相同，也不一定在同一方向。
上图中的 通信雷达一体化， 其实是 基站用同一套硬件设备 来同时实现了两个功能 (Dual-function Radar-Communications, DFRC)。 另一种 一体化 的方式 则是 雷达 和 通信 各自使用一套独立的设备， 而我们设计的要点就是使他们得以共存 (coexistence)， 即尽可能减小互相的干扰。 显然， 相比于后者， 前者是一种更紧密地一体化， 能得到更高的系统效率， 也是本文所要探讨的核心。
而根据不同的一体化目标， 通信雷达一体化， 又可以被分为：
- Communication-centric 顾名思义， 即以通信性能优先来设计系统，而感知则是一个附属功能。 常见的做法是通过利用发送的通信信号来进行对目标的感知， 无论是发送信号帧内的导频训练信号或是数据，在发送端都是已知的， 因此可以充当传统雷达波的角色。 由于优先考虑通信性能， 因此一般要求雷达感知不能对正常的通信产生较大干扰。 值得一提的是， 在诸如V2X这样 location-aware 的场景下， 雷达感知的结果还能帮助通信波束的设计，从而进一步提升通信性能。利用雷达感知的方法， 即利用目标的回波对目标的方向进行估计， 如果感知目标即是通信目标的时候， 那么可以将雷达感知视为传统通信中的信道估计， 因为感知到目标的方位后， 基站可以相应地进行波束成形，来对准目标发送通信信号，从而达到较高的接收信噪比，以提升通信传输速率。而相比于传统的通信信道估计， 雷达感知的方案中，不需要通信信号帧内再加入导频信号， 因为所有传输数据都可以视为雷达发送的感知波，对目标方位进行估计。
- Radar-centric 同理， 即以雷达性能优先设计系统， 而通过雷达信号(波形，waveform) 来进行一些较简单的通信传输。 这一设计下由于雷达波形一般不需要做出较大改变， 因此感知性能不太会下降，然而能达到的通信速率将非常有限。而由于雷达一般具有较高的发送功率， 因此这样的一体化系统适合用于一些远距离通信而对速率要求不高的场景。
- Joint design and Optimization 不局限于现有的任何雷达感知或通信传输的标准， 通过联合设计来优化系统性能， 从而在感知 和 通信 之间达到很好的折中。 本文我们重点探讨这第三种系统的设计及其中的信号处理相关问题。
顺便， 在现有的文献中， 一般用 joint radar (and) communications (JRC) 代表 Radar-centric 的一体化系统， 而以 joint communication (and) radar (JCR) 来代表 Communication-centric 的一体化系统。 不过我们的建议是， 尽可能用 integrated (radar) sensing and communications (ISAC) 一词来涵盖所有最新的通信雷达一体化系统 [3]。
通信雷达一体化系统的联合设计
本节，我们重点讲述 不局限于现有架构， 通过联合权衡 通信性能和雷达性能，来对通信雷达一体化系统进行的相关设计。 而这一设计的核心问题在于， 如何优化最终的发送信号/波形 （同时用于通信和雷达感知）， 从而达到在两种性能间的一个很好的折中。 基于此已有了许多相关工作，以不同的优化目标，相应地提出了设计算法 。
基于最大化互信息的设计
互信息 (Mutual Information, MI) 是衡量雷达感知性能的一种经典指标，以此为目标的相关设计可以追溯到上世纪90年代。互信息揭示了 有多少关于信道/传输环境的相关信息， 被传输到了接收机上。 传统的 雷达感知互信息被定义为感知信道与接收信号之间的熵。我们将最终发送信号 （经过预编码/发送波束成形后的）表示为X\mathbf{X}X （每个时隙通过多天线发送一个向量信号x\mathbf{x}x， 将连续多个时隙的发送信号摞起来表示为一个整的发送矩阵X\mathbf{X}X）， 最终接收到的用于感知的echo回波信号可以表述为： YR=HRX+ZR\mathbf{Y}_R=\mathbf{H}_R\mathbf{X}+\mathbf{Z}_RYR=HRX+ZR，其中 HR\mathbf{H}_RHR表示感知信道， ZR\mathbf{Z}_RZR表示高斯白噪声。 那么，互信息将由下式给出 [4]：
IR(HR;YR∣X)=Mlog2(det(1σz2XHΣHRX+IK))I_{R}\left(\mathbf{H}_{R} ; \mathbf{Y}_{R} \mid \mathbf{X}\right)=M \log _{2}\left(\operatorname{det}\left(\frac{1}{\sigma_{z}^{2}} \mathbf{X}^{H} \boldsymbol{\Sigma}_{H_{R}} \mathbf{X}+\mathbf{I}_{K}\right)\right) IR(HR;YR∣X)=Mlog2(det(σz21XHΣHRX+IK))
其中， ΣHR=E[HRHRH]/M\boldsymbol{\Sigma}_{H_{R}}=\mathrm{E}\left[\mathbf{H}_{R} \mathbf{H}_{R}^{H}\right] / MΣHR=E[HRHRH]/M。
另一方面， 通信用户接收到的通信信号 可以表示为 YC=HCX+ZC\mathbf{Y}_C=\mathbf{H}_{C} \mathbf{X}+\mathbf{Z}_{C}YC=HCX+ZC， 类似地， HC\mathbf{H}_CHC表示通信信道， ZC\mathbf{Z}_CZC表示高斯白噪声。那么， 通信系统的互信息可以表示为：
IC(X;YC∣HC)=Klog2(det(1σz2HCHΣXHC+IM))I_{C}\left(\mathbf{X} ; \mathbf{Y}_{C} \mid \mathbf{H}_{C}\right)=K \log _{2}\left(\operatorname{det}\left(\frac{1}{\sigma_{z}^{2}} \mathbf{H}_{C}^{H} \mathbf{\Sigma}_{X} \mathbf{H}_{C}+\mathbf{I}_{M}\right)\right) IC(X;YC∣HC)=Klog2(det(σz21HCHΣXHC+IM))
其中， ΣX=E[XXH]/K\boldsymbol{\Sigma}_{X}=\mathrm{E}\left[\mathbf{X X}^{H}\right] / KΣX=E[XXH]/K。
由此， 我们可以给出设计的优化目标： 通信互信息和感知互信息的加权和。从而， 优化问题可以表示为：
maxXwRFRIR(HR;YR∣X)+1−wRFCIC(X;YC∣HC)\max_\mathbf{X}\;\;\; \frac{w_{R}}{F_{R}} I_{R}\left(\mathbf{H}_{R} ; \mathbf{Y}_{R} \mid \mathbf{X}\right)+\frac{1-w_{R}}{F_{C}} I_{C}\left(\mathbf{X} ; \mathbf{Y}_{C} \mid \mathbf{H}_{C}\right) XmaxFRwRIR(HR;YR∣X)+FC1−wRIC(X;YC∣HC)
其中， FRF_RFR 和 FCF_CFC 分别表示 感知互信息 和 通信互信息 各自的 理论最大值， wR∈[0,1]w_R\in[0,1]wR∈[0,1]代表了权重系数。 显然， wRw_RwR越大， 说明系统越侧重于对雷达感知性能的提升。 由于这一问题是一个典型的凸问题， 因此可以通过KKT条件来求得一个闭式解 [4]。
基于波形相似性的设计
相比于基于互信息的方法是直接从数学角度分析考虑， 基于波形相似性的设计则代表了另一种更具物理意义的方向。 传统的雷达感知， 通常需要发送信号具有一些较好的性质，例如： 良好的互相关和自相关， 较高的主瓣旁瓣比 (peak-to-sidelobe level ratio, PSLR), 较低的峰均比 (peak-to-average power ratio, PAPR), 以及较强的抗杂波和干扰能力。然而，在通信雷达一体化系统中， 由于传输的信号中包含了大量的通信数据，因此很难确保最终的发送波形仍具有这些性质。
因此，有学者提出， 可以在保障通信性能的情况下， 优化发送波形，使得其与传统的雷达感知波形尽可能接近。 基于此， 系统设计就可以建模为以下的优化问题：
minP,β∥PPH−βR∥F2s.t. β≥0,γk≥Γk,∀kdiag(PPH)=PTMT1MT\begin{array}{ll} \min _{\mathbf{P}, \beta} & \left\|\mathbf{P} \mathbf{P}^{H}-\beta \mathbf{R}\right\|_{F}^{2} \\ \text { s.t. } & \beta \geq 0, \quad \gamma_{k} \geq \Gamma_{k}, \forall k \\ & \operatorname{diag}\left(\mathbf{P} \mathbf{P}^{H}\right)=\frac{P_{T}}{M_{T}} \mathbf{1}_{M_{T}} \end{array} minP,β s.t. ∥∥PPH−βR∥∥F2β≥0,γk≥Γk,∀kdiag(PPH)=MTPT1MT
其中， P\mathbf{P}P就是最终的发送波形， 也就是在设计中我们的优化变量。 R\mathbf{R}R则是一个我们选取的传统雷达感知波形的协方差矩阵，来作为benchmark，是我们期望逼近的目标。 限制条件中， β\betaβ是一个实数标量，代表比例因子。 γk\gamma_kγk代表了第kkk个用户的SINR， Γk\Gamma_kΓk则是通信系统所要求的用户的最低SINR。 这一限制条件 γk≥Γk,∀k\quad \gamma_{k} \geq \Gamma_{k}, \forall kγk≥Γk,∀k也揭示了这是在保障通信不受影响的情况下尽可能优化雷达感知性能。 最后一个限制条件则是对每根天线发送波形的功率进行约束。 注意到， 这个问题是一个非凸问题， 因此不能直接求解。 在现有文献中， 学者们提出了通过 半正定松弛 (SDR) 方法及流形优化 方法来对问题进行求解 [5]。
相同思路的另一种优化问题则是通过以下的推导： 可以将用户接收的通信信号 YC\mathbf{Y}_CYC 写为：
YC=HCX+ZC=S+(HCX−S)⏟MUI+ZC\mathbf{Y}_{C}=\mathbf{H}_{C} \mathbf{X}+\mathbf{Z}_{C}=\mathbf{S}+\underbrace{\left(\mathbf{H}_{C} \mathbf{X}-\mathbf{S}\right)}_{\mathrm{MUI}}+\mathbf{Z}_{C} YC=HCX+ZC=S+MUI(HCX−S)+ZC
其中， multiuser interference (MUI) 代表了引入的干扰项（除高斯噪声ZC\mathbf{Z}_CZC以外）。很自然地，提升通信性能可以通过最小化这一干扰项来实现。 因此，有学者提出可以以最小化MUI为优化目标，以发送波形和逼近波形的差距为限制，来构造出优化问题：
minX∥HCX−S∥F2s.t. ∥vec(X)−vec(X0)∥∞≤ε∣xi,j∣2=PTMT,∀i,j\begin{array}{ll} \min _{\mathbf{X}} & \left\|\mathbf{H}_{C} \mathbf{X}-\mathbf{S}\right\|_{F}^{2} \\ \text { s.t. } & \left\|\operatorname{vec}(\mathbf{X})-\operatorname{vec}\left(\mathbf{X}_{0}\right)\right\|_{\infty} \leq \varepsilon \\ & \left|x_{i, j}\right|^{2}=\frac{P_{T}}{M_{T}}, \forall i, j \end{array} minX s.t. ∥HCX−S∥F2∥vec(X)−vec(X0)∥∞≤ε∣xi,j∣2=MTPT,∀i,j
显然，目标函数就是MUI。 X0\mathbf{X}_0X0代表的是我们选取的benchmark波形，也就是期望的逼近波形。 因此， 第一条限制条件就限制了发送波形和逼近波形的差距不能太大。 而第二条限制条件则是希望发送信号X\mathbf{X}X满足恒模约束——对应PAPR为0dB。这同样是一个非凸的优化问题， 现有的文献有提出通过分支界定法（branch-andbound，BnB），可以在几十次迭代内得到一个较好的全局最优解 [6]。
基于估计准确度的设计
事实上， 上一个方法中通过波形相似进行的设计， 归根到底仍是旨在提升雷达感知的估计准确度。 那么很自然地，我们可以直接以优化最终的估计准确度，来进行系统的设计。 然而， 常用于衡量估计准确度的均方误差值， (mean square error, MSE) , 很难直接找到其与想要设计的发送波形之间的闭式联系，因此也就很难使用优化算法对MSE进行优化。
幸而， 作为替代， 克拉美罗下界 (CRLB) 可以被视作是估计MSE的一个下界。 同时， CRLB可以之间表示为发送波形X\mathbf{X}X的函数，从而进行优化 [7]。 尽管相比于直接MSE，CRLB显得更容易应对，但其形式仍较为复杂， 因此也很难求得发送波形的闭式最优解。 在一些相关的工作中， 有学者以 雷达感知的 CRLB 和 通信的信道容量为联合优化目标， 获取了帕累托最优 (Pareto-optimal) 的波形设计。
在一篇最新的研究中，有学者探讨了在不同优化目标下的波形设计， 包括了上面提到的 MI， MMSE， 及 CRLB等，并揭示了基于MI的设计和基于CRLB的设计之间的紧密联系， 而结论是 相比于基于CRLB的设计， 基于MI的方法在复杂度更低的情况下达到了更好的性能。
模拟阵列的多波束(Multibeam)优化
另一种从物理意义角度出发的设计是通过优化系统的模拟阵列， 使得最终形成一个在多个方向上都有能量的波束，以同时支持雷达感知和通信。 这有点类似于 传统通信中的波束成形问题。 对于原始信号 sss， 通过波束成形向量wT\mathbf{w}_TwT，最终得到发送信号x=wTs\mathbf{x}=\mathbf{w}_Tsx=wTs，而现在我们需要设计wT\mathbf{w}_TwT，使得他既能在用户方向上有较大的能量以确保较高的通信信噪比， 又能在感知目标的所在方向上有能量以支持雷达感知。
一种非常自然的设计思路就是子波束聚合 (subbeam-combination) 方法。 首先，我们独立地分别对感知任务和通信任务，各求得一个期望的波形， 也即分别对应了一个w\mathbf{w}w向量。接下来，我们再通过下式，将两者聚合：
wT=ρwT,F+1−ρejφwT,S\mathbf{w}_{T}=\sqrt{\rho} \mathbf{w}_{T, F}+\sqrt{1-\rho} e^{j \varphi} \mathbf{w}_{T, S} wT=ρwT,F+1−ρejφwT,S
其中， wT,F\mathbf{w}_{T,F}wT,F对应于 fixed subbeam， 即产生专门对准用户方向，实现通信的子波束。 而 wT,S\mathbf{w}_{T,S}wT,S 则对应于 scanning subbeam，即产生用于扫描来感知目标的子波束。 两者的求取都已是传统的问题了， 因此在一体化的设计中， 我们可以认为两者都已被求得。 而 ρ\rhoρ 则是一个比例因子， 来决定 通信 和 感知 各自的权重。 显然， ρ\rhoρ越大意味着系统将更多能量用于保障通信。ejφe^{j\varphi}ejφ 则是一个模为1的标量， 起到相位旋转的作用， 这并不改变 wT\mathbf{w}_{T}wT 在感知方向上的能量， 但可以提供对wT\mathbf{w}_{T}wT 能量效率的优化空间。由于 ρ\rhoρ 是我们自己根据系统的实际需求确定的常数权重， 因此优化的目标只有φ\varphiφ一个参数， 而优化问题就可以写为：
φopt(1)=argmaxφwTHHCHHCwT∥wT∥2s.t. ∣aT(MT,ϕi)wT∣2∥wT∣∣2≥Ci2(1−ρ)MT,i=1,2,⋯,Ns,\begin{aligned} &\varphi_{\mathrm{opt}}^{(1)}=\arg \max _{\varphi} \frac{\mathbf{w}_{T}^{H} \mathbf{H}_{C}{ }^{H} \mathbf{H}_{C} \mathbf{w}_{T}}{\left\|\mathbf{w}_{T}\right\|^{2}}\\ &\text { s.t. } \frac{\left|\mathbf{a}^{T}\left(M_{T}, \phi_{i}\right) \mathbf{w}_{T}\right|^{2}}{\| \mathbf{w}_{T}||^{2}} \geq C_{i}^{2}(1-\rho) M_{T}, i=1,2, \cdots, N_{s}, \end{aligned} φopt(1)=argφmax∥wT∥2wTHHCHHCwT s.t. ∥wT∣∣2∣∣aT(MT,ϕi)wT∣∣2≥Ci2(1−ρ)MT,i=1,2,⋯,Ns,
可以看到， 目标函数对应的就是最大化通信信噪比。 而限制条件共有NsN_sNs个， ϕi\phi_iϕi是感知中需要扫描的方向， CiC_iCi也是给定的标量比例因子。 a\mathbf{a}a函数就是天线响应向量。 那么这个问题对应的就是， 在确保所需感知方向上能量足够的同时， 优化wT\mathbf{w}_TwT 最大化通信信噪比。 关于这个问题， 学者们已经给出了闭式解 [8]。 因此，这是一种简单灵活，复杂度很低的实用方法，但也显然是次优的。
另一种思路就是直接进行全局优化，即直接求取 wT\mathbf{w}_TwT。 问题可以被建模为：
wT,opt=argmaxwT,wTHwT=1wTHHCHHCwTs.t. ∣aT(MT,ϕi)TwT∣2≥εi,i=1,2,⋯,Ns,\begin{aligned} &\mathbf{w}_{T, \mathrm{opt}}=\underset{\mathbf{w}_{T}, \mathbf{w}_{T}^{H} \mathbf{w}_{T}=1}{\operatorname{argmax}} \mathbf{w}_{T}^{H} \mathbf{H}_{C}{ }^{H} \mathbf{H}_{C} \mathbf{w}_{T} \\ &\text { s.t. }\quad\left|\mathbf{a}^{T}\left(M_{T}, \phi_{i}\right)^{T} \mathbf{w}_{T}\right|^{2} \geq \varepsilon_{i}, i=1,2, \cdots, N_{s}, \end{aligned} wT,opt=wT,wTHwT=1argmaxwTHHCHHCwT s.t. ∣∣∣aT(MT,ϕi)TwT∣∣∣2≥εi,i=1,2,⋯,Ns,
可以看到， 问题和上一种子波束聚合的方法几乎是一样的，都是在保证感知方向上能量足够的情况下最大化通信信噪比，但现在的优化变量变成了wT\mathbf{w}_TwT。尽管这个问题是一个非凸的问题， 但在最近的研究中，他可以被转化为典型的二次约束二次规划问题 (quadratically constrained quadratic program ,QCQP) ， 因此可以通过SDR方法求解 [8]。
参考文献
[1] J. A. Zhang, et al. “An Overview of Signal Processing Techniques for Joint Communication and Radar Sensing.” arXiv preprint arXiv:2102.12780 (2021).
[2] F. Liu, et al. “Cram’er-Rao Bound Optimization for Joint Radar-Communication Design.” arXiv preprint arXiv:2101.12530 (2021).
[3] Y. Cui, et al. “Integrating Sensing and Communications for Ubiquitous IoT: Applications, Trends and Challenges.” arXiv preprint arXiv:2104.11457 (2021).
[4] X. Yuan, Z. Feng, J. A. Zhang, W. Ni, R. P. Liu, Z. Wei, and C. Xu, “Spatio-temporal power optimization for MIMO joint communication and radio sensing systems with training overhead,” IEEE Trans. on Vehicular Technology, vol. 70, no. 1, pp. 514–528, 2021
[5] F. Liu, C. Masouros, A. Li, H. Sun, and L. Hanzo, “MU-MIMO communications with MIMO Radar: From co-existence to joint transmission,” IEEE Trans. on Wireless Communications, vol. 17, no. 4, pp. 2755–2770, April 2018.
[6] F. Liu, L. Zhou, C. Masouros, A. Li, W. Luo, and A. Petropulu, “Toward dual-functional radar-communication systems: Optimal waveform design,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 66, no. 16, pp. 4264–4279, Aug 2018.
[7] R. Niu, R. S. Blum, P. K. Varshney, and A. L. Drozd, “Target localization and tracking in noncoherent multiple-input multiple-output radar systems,” IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, vol. 48, no. 2, pp. 1466–1489, 2012.
[8] Y. Luo, J. A. Zhang, X. Huang, W. Ni, and J. Pan, “Multibeam optimization for joint communication and radio sensing using analog antenna arrays,” IEEE Trans. on Vehicular Technology, vol. 69, no. 10, pp. 11 000–11 013, 2020.
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