二元信号探测的误检概率推导与其matlab验证

假设传输两个信号：s0[n]s_0[n]s0[n]和s1[n]s_1[n]s1[n]，传输过程中叠加了高斯白噪声w[n]w[n]w[n]，w[n]∼N(0,σ2)w[n]\sim N(0,\sigma^2)w[n]∼N(0,σ2)。在接收端，我们需要判断接收到的x[n]x[n]x[n]到底是哪个信号，就有了如下两个假设：
H0:x[n]=s0[n]+w[n]H1:x[n]=s1[n]+w[n]H_0:x[n]=s_0[n]+w[n]\\ H_1:x[n]=s_1[n]+w[n] H0:x[n]=s0[n]+w[n]H1:x[n]=s1[n]+w[n]
假设发出两种信号的概率相等，当
Pr⁡(x⃗∣H1)Pr⁡(x⃗∣H0)>γ=Pr⁡(H0)Pr⁡(H1)=1\frac{\Pr(\vec{x}|H_1)}{\Pr(\vec{x}|H_0)}>\gamma=\frac{\Pr(H_0)}{\Pr(H_1)}=1 Pr(x∣H0)Pr(x∣H1)>γ=Pr(H1)Pr(H0)=1
时，拒绝H0H_0H0，认为我们接收到了s1s_1s1信号。

为了进一步探讨该问题，将Pr⁡(x⃗∣Hi)\Pr(\vec{x}|H_i)Pr(x∣Hi)展开，因为接收到的信号x[n]x[n]x[n]每一位都满足x[n]∼N(si[n],σ2)x[n]\sim N(s_i[n],\sigma^2)x[n]∼N(si[n],σ2)，故整个信号x⃗\vec{x}x有
Pr⁡(x⃗∣Hi)=1(2πσ2)N2exp⁡[−12σ2∑n=0N−1(x[n]−si[n])2]\Pr(\vec{x}|H_i)=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{\frac{N}{2}}}\exp[-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{n=0}^{N-1}(x[n]-s_i[n])^2] Pr(x∣Hi)=(2πσ2)2N1exp[−2σ21n=0∑N−1(x[n]−si[n])2]
注意到对于两个假设H0H_0H0和H1H_1H1，Pr⁡(x⃗∣Hi)\Pr(\vec{x}|H_i)Pr(x∣Hi)的区别在于∑n=0N−1(x[n]−si[n])2\sum_{n=0}^{N-1}(x[n]-s_i[n])^2∑n=0N−1(x[n]−si[n])2，故设
Di2=∑n=0N−1(x[n]−si[n])2=∣∣x⃗−si⃗∣∣2D_i^2=\sum_{n=0}^{N-1}(x[n]-s_i[n])^2=||\vec{x}-\vec{s_i}||^2 Di2=n=0∑N−1(x[n]−si[n])2=∣∣x−si∣∣2
不难看出，我们做出判断的依据就在于接收信号构成的向量x⃗\vec{x}x与两已知信号向量si⃗\vec{s_i}si之差的模长的平方。

再展开Di2D_i^2Di2，得
Di2=∑n=0N−1x2[n]−2∑n=0N−1x[n]si[n]+∑n=0N−1si2[n]D_i^2=\sum_{n=0}^{N-1}x^2[n]-2\sum_{n=0}^{N-1}x[n]s_i[n]+\sum_{n=0}^{N-1}s_i^2[n] Di2=n=0∑N−1x2[n]−2n=0∑N−1x[n]si[n]+n=0∑N−1si2[n]
发现D12D_1^2D12和D22D_2^2D22之间的差别在于−2∑n=0N−1x[n]si[n]+∑n=0N−1si2[n]-2\sum_{n=0}^{N-1}x[n]s_i[n]+\sum_{n=0}^{N-1}s_i^2[n]−2∑n=0N−1x[n]si[n]+∑n=0N−1si2[n]，故定义
Ti(x)=∑n=0N−1x[n]si[n]−12∑n=0N−1si2[n]T_i(x)=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]s_i[n]-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N-1}s_i^2[n] Ti(x)=n=0∑N−1x[n]si[n]−21n=0∑N−1si2[n]
其中，∑n=0N−1si2[n]\sum_{n=0}^{N-1}s_i^2[n]∑n=0N−1si2[n]为信号sis_isi的能量，故TiT_iTi又可写为
Ti(x)=∑n=0N−1x[n]si[n]−12εiT_i(x)=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]s_i[n]-\frac{1}{2}\varepsilon_i Ti(x)=n=0∑N−1x[n]si[n]−21εi
可得出误检概率PeP_ePe的表达式为
Pe=Pr⁡(H1∣H0)Pr⁡(H0)+Pr⁡(H0∣H1)Pr⁡(H1)=12[Pr⁡(H1∣H0)+Pr⁡(H0∣H1)]=12[Pr⁡(T1(x⃗)−T0(x⃗)>0∣H0)+Pr⁡(T0(x⃗)−T1(x⃗)>0∣H1)]\begin{aligned} P_e&=\Pr(H_1|H_0)\Pr(H_0)+\Pr(H_0|H_1)\Pr(H_1)\\ &=\frac{1}{2}[\Pr(H_1|H_0)+\Pr(H_0|H_1)]\\ &=\frac{1}{2}[\Pr(T_1(\vec{x})-T_0(\vec{x})>0|H_0)+\Pr(T_0(\vec{x})-T_1(\vec{x})>0|H_1)] \end{aligned} Pe=Pr(H1∣H0)Pr(H0)+Pr(H0∣H1)Pr(H1)=21[Pr(H1∣H0)+Pr(H0∣H1)]=21[Pr(T1(x)−T0(x)>0∣H0)+Pr(T0(x)−T1(x)>0∣H1)]
故定义检验T(x⃗)=T1(x⃗)−T0(x⃗)T(\vec{x})=T_1(\vec{x})-T_0(\vec{x})T(x)=T1(x)−T0(x)，即
T(x⃗)=∑n=0N−1x[n](s1[n]−s0[n])−12(ε1−ε0)T(\vec{x})=\sum_{n=0}^{N-1}x[n](s_1[n]-s_0[n])-\frac{1}{2}(\varepsilon_1-\varepsilon_0) T(x)=n=0∑N−1x[n](s1[n]−s0[n])−21(ε1−ε0)
通过计算可得TTT的期望与方差：
E(T∣H0)=∑n=0N−1s0[n](s1[n]−s0[n])−12(ε1−ε0)=−12∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2E(T∣H1)=12∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2Var(T∣H0)=Var(∑n=0N−1x[n](s1[n]−s0[n])∣H0)=σ2∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2Var(T∣H1)=σ2∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2\begin{aligned} &E(T|H_0)=\sum_{n=0}^{N-1}s_0[n](s_1[n]-s_0[n])-\frac{1}{2}(\varepsilon_1-\varepsilon_0)=-\frac{1}{2}||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2\\ &E(T|H_1)=\frac{1}{2}||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2\\ &Var(T|H_0)=Var(\sum_{n=0}^{N-1}x[n](s_1[n]-s_0[n])|H_0)=\sigma^2||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2\\ &Var(T|H_1)=\sigma^2||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2 \end{aligned} E(T∣H0)=n=0∑N−1s0[n](s1[n]−s0[n])−21(ε1−ε0)=−21∣∣s1−s0∣∣2E(T∣H1)=21∣∣s1−s0∣∣2Var(T∣H0)=Var(n=0∑N−1x[n](s1[n]−s0[n])∣H0)=σ2∣∣s1−s0∣∣2Var(T∣H1)=σ2∣∣s1−s0∣∣2
所以，(T∣H0)(T|H_0)(T∣H0)和(T∣H1)(T|H_1)(T∣H1)均满足正态分布，且
(T∣H0)∼N(−12∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2,σ2∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2)(T∣H1)∼N(12∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2,σ2∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2)(T|H_0)\sim N(-\frac{1}{2}||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2,\sigma^2||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2)\\ (T|H_1)\sim N(\frac{1}{2}||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2,\sigma^2||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2) (T∣H0)∼N(−21∣∣s1−s0∣∣2,σ2∣∣s1−s0∣∣2)(T∣H1)∼N(21∣∣s1−s0∣∣2,σ2∣∣s1−s0∣∣2)
故误检概率可写为
Pe=Pr⁡(T>0∣H0)Pr⁡(H0)+Pr⁡(T<0∣H1)Pr⁡(H1)=12[Pr⁡(T>0∣H0)+Pr⁡(T<0∣H1)]=Φ(−12∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2σ2∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2)=Φ(−12∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2σ2)\begin{aligned} P_e&=\Pr(T>0|H_0)\Pr(H_0)+\Pr(T<0|H_1)\Pr(H_1)\\ &=\frac{1}{2}[\Pr(T>0|H_0)+\Pr(T<0|H_1)]\\ &=\Phi(-\frac{\frac{1}{2}||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2}{\sqrt{\sigma^2||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2}})\\ &=\Phi(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2}{\sigma^2}}) \end{aligned} Pe=Pr(T>0∣H0)Pr(H0)+Pr(T<0∣H1)Pr(H1)=21[Pr(T>0∣H0)+Pr(T<0∣H1)]=Φ(−σ2∣∣s1−s0∣∣221∣∣s1−s0∣∣2)=Φ(−21σ2∣∣s1−s0∣∣2)
可以看出，误检概率与两信号向量之差的模长成正比，与噪音的标准差成反比。

我们可以用matlab验证该推导结果，每次检验均生成两个随机信号s1,s2s_1,s_2s1,s2，分别叠加噪音计算TTT值，判断是否误检。

在这里只生成了长度为2的信号，一是因为长度太长每次检验的速度会增加，程序的总运行时间暴增；其次若信号长度太长，很难随机生成∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2∣∣s1−s0∣∣2较小的信号，使统计不准。
test.m

function res=test(sigma)
N=2;
s0=2*rand(1,N)-1;
s1=2*rand(1,N)-1;
w0=s0+sigma*randn(1,N);
w1=s1+sigma*randn(1,N);
T0=0;
T1=0;
E0=0;
E1=0;
for i=1:1:NE0=E0+s0(i)^2;E1=E1+s1(i)^2;T0=T0+w0(i)*(s1(i)-s0(i));T1=T1+w1(i)*(s1(i)-s0(i));
end
T0=T0-(E1-E0)/2;
T1=T1-(E1-E0)/2;
p=(s1-s0)*(s1-s0)';
%p=2*s1*s0'/(s1*s1'+s0*s0');
res=[p,(T0>0)+(T1<0)];

之后，统计两向量之差的模长与误检次数的关系，与推导结果比对，可得

在∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2∣∣s1−s0∣∣2偏大的部分，统计很不准确，这是因为对于随机生成的长度为2的信号，∣∣s1⃗−s0⃗∣∣2||\vec{s_1}-\vec{s_0}||^2∣∣s1−s0∣∣2那么大的样本很少，统计结果就会非常不准确。可以考虑使用蒙特卡洛法消除部分偏差。

统计及生成gif代码：
statistic.m

clc;clear;
cnt=1;
for sigma=0.2:0.01:0.6
str='σ=';
N=10000000;
d=1000;
y=zeros(1,d);
tot=zeros(1,d);
data=zeros(N,2);
hb=0;
lb=400;
for i=1:1:Na=test(sigma);data(i,1)=a(1);data(i,2)=a(2);hb=max(hb,a(1));lb=min(lb,a(1));
end
hb=hb+0.01;
sep=(hb-lb)/d;
x=lb+sep/2:sep:hb-sep/2;
for i=1:1:Nidx=floor((data(i,1)-lb)/sep)+1;y(idx)=y(idx)+data(i,2);tot(idx)=tot(idx)+2;
end
y=y./tot;
figure
plot(x,y,"linewidth",2);
hold on;
pd=makedist("Normal","mu",0,"sigma",1);
y1=cdf(pd,trans(x,sigma));
plot(x,y1,"linewidth",2);
xlabel("$||s_1-s_0||^2$","interpreter","latex","fontsize",16);
ylabel("prE","fontsize",16);
str1=[str num2str(sigma)];
title(str1,"fontsize",18);
print(1,'-dbmp',sprintf('img/%d',cnt));
cnt=cnt+1;
close;
end
%xlim([0.1 0.7]);
%ylim([-0.0025 0.03]);
%依次读取生成的所有图片
for j=1:41%获取当前图片A=imread(sprintf('img/%d.bmp',j));[I,map]=rgb2ind(A,256);%生成gif，并保存if(j==1)imwrite(I,map,'movefig.gif','DelayTime',0.1,'LoopCount',Inf)elseimwrite(I,map,'movefig.gif','WriteMode','append','DelayTime',0.1)    end
end

trans.m

function re=trans(x,sigma)
re=-sqrt(x/sigma^2)/2;

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